An+1=(1+r)An+C

 

A1=C0

 

この漸化式を解いて

 

An=(C0+C/r)(1+r)^(n-1)-C/r

 

あるいはn=1ずつディレイした指数関数の重ね合わせと考えると

 

An=C0(1+r)^(n-1)+C(1+r)^(n-2)+・・・+C(1+r)+C

 

二項目以降は等比級数なので

 

An=(C0+C/r)(1+r)^(n-1)-C/r

 

ここでC=0とすると72の法則が適用できる形になります。

 

C＞0では積立のオフセットが供給されるので見かけのリターンはなまります。

 

そこで積立に適用できる解を求めます。

 

n年後の期待値

 

An=(C0+C/r)(1+r)^(n-1)-C/r

 

n年後の元本

 

An0=C0+(n-1)C

 

一般に

 

C=C0

 

An/An0=2と置くと

 

(1+r)^n-2nr-1=0

 

テイラー展開の二次まででは精度が出なかったので三次まで展開すると

 

(nr)((nr)^2+3(nr)-6)=0

 

nr=137

 

積み立てない場合(72)に対して2倍よりは速いようです。

 

ただ年利ではこれでよい精度が出るのですが月利ではまだ不十分です。

 

よって四次まで展開して三次方程式を解くと

 

(nr)((nr)^3+4(nr)^2+12(nr)-24)=0

 

nr=128

分割数を増やすとexponentialにより近づくのでより速くなると考えられます。
 

早見表的なグラフを載せておきます。

 

（年利）

 

（月利（=年利/12））

ちなみに月利=年利/12でも月利=年利^(1/12)でも年利より速いです。
（年利＜月利（=年利^(1/12)）＜月利（=年利/12））
 

（関連記事）

複利

時間とリスクの関係

進捗確認（2012年4月）

 

というのは「このころ」に比べて期待リターンが大きく下がっています。

 

r：8.2 -> 6.4%

σ：18.8 -> 18.8%

 

将来の見込みに関わるので要チェックです。今後も変動し続けるでしょうがこういう仮定は過去の統計に頼るしかないです。

余談ですがリターンが大きく変化する一方でリスクは変化していません。ニッセイ研のレポートとコンシステントです。
 

 

投資期間に応じて、

 

①リスクは低下する

②リスクは変化しない

③リスクは上昇する

 

結論は、どれも正しい。要は「"リスク"をどう定義しているか」だけ。

 

過去の記事で使った絵を引っぱってきてまとめます。

 

①リターンのMaxMinimum

（投資とは関係のない雑談ですので、ご興味のある方だけご覧ください。）

 

nがある程度大きければ

 

m=n±√n

 

相対誤差は

 

√n/n=1/√n

 

これも1/√nに比例するので標準誤差σ/√nと混同してしまいます。

 

そもそも次元が違うんですが、共通点はn増しすれば統計が上がるということ。

 

（関連記事）

標準誤差

 

過去平均法で予測する期待リターンとリスクって妥当なの？（2012/03/01 ニッセイ基礎研究所）

 

「母集団の分布関数がわかっていても、標本平均から精度よく推定するためには膨大なnが必要」

 

について考えます。

 

3σの確率で推定される母集団の平均は

 

μ=r±3σ/√n　（σ/√n：標準誤差）

 

μ=6、σ=20の正規分布乱数をn回発生させ、その平均値をエラーバー3標準誤差でplotすると

 

 

（私もたまにやりますがこのレポートのように年利を月利にしてn増しするのが正しい手続きかは別問題です。）

 

3σの確率で誤差を±10%に抑えるために必要なnは

 

3σ/√n≦0.1μ

 

n≧10000

 

2σでもn≧4444、1σでもn≧1111が必要です。

 

ところで上記は数学的に扱いやすい正規分布を仮定しています。個人的にはテイルリスクを含めた現実の確率分布はガウス+ローレンツ関数で記述されると考えていて、以前「確率分布とランダムウォーク」でガウス+ローレンツ関数に従う乱数を4096回発生させたときに平均値が期待通りにならずに困りました。その時は記事の趣旨が平均値ではなく経路（バラツキ）だったので何回か試して所望の結果になるようにつじつまを合わせましたが、詰まるところニッセイ研のレポート通りだったということです。また、「リスクは投資期間に依存する・・・？」の結果も言っていることは同じと考えてよいかと思います。

 

このようにひとりの人間が投資できる現実的なタイムスケールでは精度が出ません。しかし未来が全く見積もれないわけでもないと思います。

 

『敗者のゲーム』P.81、図7-1「1900年にアメリカ市場に1ドル投資した場合の資産の成長」について。semi-logで直線なので指数関数（複利）です。98年で9121.66倍なので年利9.8%、σを20%と仮定すると98年で誤差3σ/√n=6.1%。つまりμ=9.8±6.1%。まだバラツキは大きいですがコストを差し引いても99.85%の確率で預金よりはマシです。

 

ただし、過去と違って国の借金も積み上がってきたり、デリバティブとか一般人に迷惑をかける金融商品が増えたりして、我々を取り巻く環境や金融的な構造が（歪んだ方向に）変化していくはずなので、今後もこれが続くか疑ってはいます。

 

（関連記事）

リターンディストリビューションによるリターンとリスクの考え方

確率分布とランダムウォーク

リスクは投資期間に依存する・・・？

 

新興債（JPM GBI-EM GD）と重複することになります。指数メーカーが違うからでしょうか。

 

ところで改めてグロ債の国別割合を見ると、米国とユーロが40%ずつ・・・。債券の時価総額加重平均について思うこと。

 

大量の借金を抱えている国を多く持つなんて、いまいちその感覚が理解できないのは私だけでしょうか。

 

株式と違い緩和等々バラ撒くだけで簡単に時価総額が増えてしまうのがなんとも・・・。

 

現実的な理由は流動性でしょうか（世界中がこれを参考にするならそう作っておかないと売買が成り立たなくなりそう）。

 

でも今さら格付けなんて信用して大丈夫と思ってるとしたら残念です。

 

そういうのに囚われないでGBI-EM GDのように10%とかでclipする方が賢くないですか。それかやはり均等型がよろし。

インデックスはすばらしいですが、BESTにはなれないと思う理由のひとつです。
 

（関連記事）

グロ債インデックスからポルトガル除外

時価総額加重平均を支持しない理由その1

 

では相関係数で同じことをやったらどうなるか。

 

前回「相関係数の時系列変化」のデータから、移動相関係数のタップに対する平均とMaxMinimumをプロットします（全期間に対して半分以上のタップは参考までに）。

 

【日本債×グロ債】

【日本債×グロ株】

【日本債×日本株】

【グロ債×グロ株】

【グロ債×日本株】

【グロ株×日本株】

 

リターンと同様に相関係数も投資期間に応じてバラツキが小さくなります（高周波成分を取り除けば「眠くなる」のは自明）。

 

近年相関係数が上昇しているのも、短期的に金融危機等に引っぱられているからそう見えるだけかも知れません。

 

とすると原資産間の相関というのは平均的にはだいたい決まったところに落ち着くのではないかと考えられます。ただ今回は期間が短いので25年とか50年前と比較すると平均は上昇しているかも知れません。

 

でもなんとなく、アセットアロケーション設計時のリターン、シグマ、相関係数から見積もり通りの結果を得るためには、やはり長期投資が必要そうです。

ただ、こういう数学的な操作に惑わされることなく、継続することが最も大切な気がします。
 

（関連記事）

相関係数の時系列変化

リスクは投資期間に依存する・・・？