この回では積立の場合に分布がどうなるか考えます。nごとに定額を積み立て、リスクリターンも変わらないとします。

資産価値はnを1ずつディレイしたアベレージでよいと思います。

ftotal(k)=Σ[f(n)/f(0)]/k　(n=1,…,k)

しかし確率密度が問題です。資産価値のように単純に平均でよいかと言われたら違う気がします。

Ptotal(k)=Σ[P[f(n)/f(0)]]/k　(n=1,…,k)

ではないと思うんです。ここで重要なのは確率密度の面積が確率に相当するということです。よって確率密度を資産価値で重みづけする必要がある気がします。つまり積立の確率密度はnを1ずつディレイした確率を積分してからトータルの資産価値で割り戻すと考えます。

Ptotal(k)=Σ[[f(n)/f(0)]*P[f(n)/f(0)]*σ√n]/Σ[f(n)/f(0)]/(σ√k)　(n=1,…,k)

累積分布Ftotal(k)は「Ptotal(k)×ftotal(k)×σ√k」のサメイションで求めます。

Ftotal(k)=Σ[Ptotal(k)×ftotal(k)×σ√k]

=σ√k∫Ptotal(k)d[ftotal(k)]　(ftotal(k)を0からftotal(k)まで積分)

これまでと同様にμ=5%、σ=15%の場合でプロットします。

【時間リスクの確率密度と累積分布（対数正規分布）@資産価値（積立版）】

【時間リスクの確率密度と累積分布（対数正規分布）@資産価値（積立版、横軸リニア）】

積立では一括に対して分布の広がりが小さくなっているように、投資総額に対する比（トータルリターン）は基本的に一括の半分かそれ以下になります。また元本割れする確率も高まります。ここからも早めの一括投資がよいことが示唆されます。

（関連記事）