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インデックス・ドライバー

統計的インデックス投資

「遠かった。でも、ここまで来た。」

なんとか1000本継続することができたのは感慨深いものがあります。

ブログを始めてから今日で丸5年、これまでインデックス投資を支える統計的なバックグラウンドの考察と「おもしろいグラフ」を描くことを「ドライブ」のエンジンとしてやってきました。そこで私的な好みと資産形成において大切と思われる観点から「グラフ」および「考察」を集約してみたいと思います。

【グラフ】


初めてリニアングラフを使ってみた時の図です。例えばインデックスファンドのコスト成分を分離して考えたい場合に3本目の軸があると表現しやすいです。

二次元でも三次元でも「グラフ」はインデックスファンドと並び正統派な発明だと思っています(「資産運用における最大の発明は何か」)。特に3Dやコントアによるイメージングは定量性を犠牲にしてでも理解を深める上で必要と考えています。



重要な概念である「消失リターン」をシンプルな絵で端的に表す方法はないかと考えました。エッセンスはこのギザギザで、確率として資産運用の流れに移し替えると「「リスクによるリターンの消失」を波動砲で表してみた」等の表現があると思います。他にポンチ絵シリーズとしては「「分配による再投資課税複利ロス」をポンチ絵で表してみた」があります。



「リスクの合成」についての考察です。昔のソフトで3Dプロットを描いていた時代のものを入れたいと思います(ブラッシュアップ版「相関係数とσ(2014年版)」)。また「合成リスクの標準形で遊んでみる」にて合成シグマの幾何的な性質を、「分散投資再考@リスク」にて分散でリスクが減らないケースを考察しています。



二次元グリッドアレイに含まれるポートフォリオの数をZ軸としてコントアで表現しています。X線画像ライクな絵にしてみました。ちなみに上部バーの背景はエネルギーバンドごとに疑似カラーで描かれた銀河中心(サジタリウスAスター)のX線イメージです。これを光学系のPSFライクにしたのが「ポートフォリオ分布の日本債ウェイト依存」の最後の図、Z軸を確率にしたのが「元本割れ確率のグリッドヒストグラム」です。



空間に時間の流れをマージしてタイムラプス動画風にしてみたいという目論見がありました。他に時間依存「時間リスクをジフで表してみた」、時系列型「ジフ版時間リスクの時系列依存」、相乗平均依存「ジフ版時間リスクのリターン依存」、SR=const「ジフ版時間リスクのシグマリターン依存(SR固定)」を作成済みです。



リスクの銀河座標表示です。モデルはこちら「リスク表現についての雑談」。



個人的に「ラスタースキャン」の絵が最も好みです。ランダムウォークのような、とある軸方向に連続して変化する事象の表現や断面解析に向いていると思います。この疑似乱数版が「ランダムウォークのラスタースキャン表示」、確率密度の姉妹である累積分布バージョンが「リスクの時間変化をナイアガラで表してみた」です。

【考察】
【バラツキの定量化に関する考察】


テイルリスクが「ガウシアン+ローレンツ関数」でフィッティング可能なことを考察しました。その関数型からのランダムウォークのシミュレートが「確率分布とランダムウォーク」。同様にヒストグラム(確率)と「割合」の考え方で暴落を定量化したものが「暴落の定義」。量産では5σ、6σのマージン確保は普通だと思います。確率関数としては他に光子統計も併用するとよいと思います(「ポアソン分布」)。

一般的に不確定な対象を解析する上でヒストグラムによる議論は重要であり、バラツキの概念によりニュートラルな判断が可能になると考えます。例えば「チャンピオンデータだけでなくバラツキとワーストも議論しませんか」「アクティブ運用がインデックス運用に敵わないことの誤解」等でバラツキを考慮する必要性を議論しています。基本的に金融業界の「統計」と私の考える統計は異なります(「統計」の統計)。あとVIがバラツキを定量化する手段の一つであることを確認しています(「ボラティリティインデックスが微分量であるということ」)。



当時時間リスクについての自分の理解に誤りがありました。それを修正することができたのでその後の考察に繋がったと思いますし、今まで続けて来られたと考えています。引用元の著者である山崎元さんに感謝致しますm(__)m・・・そんな山崎氏にあきらめの悪い男(私)からのメッセージ→「「非時価運用がしたいです・・・・・・」

あと私の知る限りでは唯一日経の田村さんが時間リスクを取り上げてくれて雄叫んだことがあります(「時間リスクキターー(゚∀゚)ーー!!イィィィヤッホォォォウ!(´∀`)」)。この概念は未来の確率や時間を求められるので重宝しています。消失リターンについても取り上げてくれないですかね?



一般に用いられる誤差伝播「√n倍」は変分を微小とした近似であり、テイラー展開の次数に応じてズレが生じうることを考察しています。誤差を無限分割した極限であるエクスポネンシャル(対数正規分布)で振幅が最大になると考えています。逆に不確定性の増大に対する数増しの考察は「N増しで統計が上がるか」。またシグマ・リターンの時間変換が「リターンとリスクの時間換算」です。


X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3
X1 1 rx1y1 rx1x2 rx1y2 rx1x3 rx1y3
Y1 rx1y1 1 ry1x2 ry1y2 ry1x3 ry1y3
X2 rx1x2 ry1x2 1 rx2y2 rx2x3 rx2y3
Y2 rx1y2 ry1y2 rx2y2 1 ry2x3 ry2y3
X3 rx1x3 ry1x3 rx2x3 ry2x3 1 rx3y3
Y3 rx1y3 ry1y3 rx2y3 ry2y3 rx3y3 1









「積の合成リスク」である為替換算リスクを誤差伝搬法則の定義に従って分離しています。為替換算のようなインデックス(シグマ)の掛け算も積の誤差伝搬として演算可能なことを考察しています(合成リスクの理論的根拠である誤差伝搬則については「誤差伝搬法則」)。マトリクスはイメージセンサーのベイヤー配列をイメージしています。

なお為替換算のような「積の合成リスク」とポートフォリオの合成リスクのような(普通の)「和の合成リスク」の違いに関して「積の合成リスクの相関係数依存」「和の合成リスクの相関係数依存」でシグマの応答性を確認しています。



一般に単位時間あたりの変化率から求められる相関係数を合成リスク演算の逆算により算出しています。新興リートの時系列がわからなかった時に捻り出したものです。他に相関の絶対値の判断について提案した「相関係数の効率」があります。



リスクリターンのパレート曲線にも波動関数ライクな「重ね合わせの原理」が適用できそうです。ベースとなる効率的フロンティアの数学的記述は「有効フロンティアについてI」「有効フロンティアについてII」、行列が作るn=3以上の空間の考察は「有効フロンティアについてIII」。ただし課題もまだあります(「有効フロンティアについてX」)。



バラツキのバラツキについて。タップ固定の平滑化はローパスフィルタにより高周波成分を取り除くことができます。しかしそれより低い周波数の変動はキャンセルしきれません。それが経時変化として見えていると捉えられます。また「リスクの安定感」においてリターンよりシグマが重要であることを相対誤差の観点から考察しています。



短期的な変動をターゲットとした定量化です。フーリエ変換しただけと言えばそれまでですが、個人的には指数の相互相関にある程度の周期性が認められると考えています。「分散投資はダメ」という論調も相関の高周波なピークであることが多く、サンプリング期間とバラツキを考慮する必要があるという認識です(「相関係数の時系列変化」)。同様に株式の方も為替につられて似たような傾向がありそうです(「国内株指数と外国株指数との相関、およびその周期性について」)。



別名「分散投資の限界について」。「サチる」と言っても厳密には「漸近」と「飽和」は異なります。こちらはADで突き当たったり回路で飽和したりするDレンジを想定しています。これをウェイティングの要素まで拡張したものが「分散の仕方によるリスク低減の応答性(N増し版)」です。ちなみにサチュレーションと関わりのあるシステマティックエラーについては「システマティックリスクの分離と埋め込み」で考察しています。また相関係数については「σに対するnと相関係数の寄与」での考察の通り、リスク低減がnの極限において「√r」に収束(システマティックノイズで律速)するという意味で重要なパラメータと考えています。



金融商品の落とし穴シミュレータ。「おとしあなかいひ」のアビリティがほしくなります。



シグマだけでなくコストやトラッキングエラーのリニアリティも統計的考察の対象と認識しています。「コストの線形性について(グロ債)」などとともに、インデックス投資のロジックを支える「再現性」を具現化する一例としてここに挙げたいと思います。

再現性や線型性という意味では変化率の積分である累積騰落率差や変動率の比である規格化基準価額比もシンプルな指標です(「コストが基準価額に与える影響(グロ株)」など)。複利成分であるコストそのものの重要性は「ゲイン成分とオフセット成分」、コストによる狭視野化の懸念は「「インデックス投資ってコストが低ければ何でもいいんでしょ?」」で考察しています。



一括投資と積立投資のシミュレータです。一連のシリーズのうち、失念していた派生形をリファレンスにするのは恐縮ですが、積立投資のディレイ効果の確率的定量化を実施することができたということでよしとしたいと思います。

なお「ドルコスト平均法の数学I」「ドルコスト平均法の数学II」で積立投資のsimではない数学的な定式化を考察しています。ついでに積立のウラである逆積立を「逆ドルコスト平均法シミュレータ(β版)」で定量化しています。その他のシムを含むロードマップのまとめは「資産運用シミュレータ反省会」。



「The Rolling Returns」というバンド名が割とおもしろいと思っているので入れてみました。資産運用で用いられる「ローパスフィルタ」の概念について、バラツキの時間依存とタイムスケールを可視化したものです(二次元の世界はこちら「ローリング・リターンズ(二次元版)」)。n増しにより平均値の推定精度は上げられます(∝σ/√n)。しかしインデックスは複利なのでこのn乗でバラツキは増大していくと考えています(∝(1+σ/√n)^n≒1+σ×√n)。あるいは時間で加算平均(∝√n/n=1/√n)しない単純な加算(∝√n)とも捉えられます。

上図のシグマがタップで変わらないように、私はリスクに時間依存はないと考えます(某書のミスリードに対する考察は「リスクは投資期間に依存する・・・?」)。またこの概念をブラウン運動ライクにリスク平面上の写像として表したものが「ランダムウォークの時間依存」。平均値がマイナスの場合の平滑化については「長期投資による時間平均の作用」で考察しています。



シグマと確率を考慮すると複利2倍則はどのような関数型になるか、という考察です。相乗平均とシグマの相対関係による必要時間、必要リターンの振舞を定式化しています。

この他に72の法則の導出に関する考察として「複利」「積立を考慮した場合の複利2倍則」「複利2倍則は69か73かそれとも72か」が挙げられます。



ローパスフィルタとパワースペクトルによるミーンリバージョンの仮説です。ただし分解能の細分化に矛盾があることも認識していますので有識者の方の検証を希望致します。

【シグマによる平均の消失に関する考察】


消失リターン「-(σ^2)/(2(1+μ))」はインデックス統計において個人的に最もインパクトの大きかった事象です。この統計量は高校数学に出てくる相加相乗平均の関係「(x+y)/2≧√(xy)」の不等号を(近似的に)定量化し一般化したものと捉えることができます。この「シグマと平均がリンクしている」という数学的帰結により説明できる現象は少なくないと考えています。

例えば「CAPM」の反例として「リターンを喰らうリスク」、指数実績の検証として「リスクによるロスの確認」、ゲイン系インデックスの減価として「レバレッジインデックスの変動特性について」が挙げられます。また要因解析のためのムダの見える化として「リスクを累積で考えてみる」が挙げられます。



リバランスボーナス「(1/2)*(Σwiσi^2-σp^2)」がシグマによるリターンの消失「-(σ^2)/2」の裏返しであることを考察しています。単体要素の変動だけでなく、それらを合成したポートフォリオのリスク構造においても消失リターンが「キモ」であることが示されます。また等配分のリバランスボーナス特性の考察が「ノイズキャンセラーn資産均等型」、リバランスボーナスに伴うポートフォリオリターンの修正が「合成リターンについて」です。



ツイストグラフから「シグマ」の統計的性質を考察しています。同じく「消滅リターンによる等価原理」が適用可能なケースとして「リスクとコストの等価性について」を考察しています。そして積み上げプロットからヒントを得たバラツキのイメージが「ツイストマップ」。なお本文に書いたように「勉強やスポーツや仕事では1番じゃないとダメなんすよ」。



リスクによりパレート面が失われた「消滅フロンティア」は、相加平均フロンティアから単純に消失リターンを減算することで算出可能であることが確認できました。また「マージプロット」は消失リターンとリバランスボーナスを同時に可視化できる点に意味があると考えています。ちなみに縦軸を極大化するウェイトが「相乗平均リターン最大配分の一般形」。

現在はこの「The Disappearance of Effective Frontier」に相加平均SR最大ウェイト(「有効フロンティアについてVI」)のシーケンスを適用した「相乗平均SR最大ウェイト」の導出に難儀しています。

【時間とリスクの確率解釈に関する考察】


時間リスク波動砲の連続確率関数である対数正規分布の考察です。未来を確率で議論し、事象が顕現した瞬間に結果が確定するという量子力学的な振る舞いにインデックス投資の論理性を感じます。関数型の数学的導出は「時間リスクの確率分布II」で考察しています。また積立版も考察していますがこちらは確信がないので検証を希望致します(「時間リスクの確率分布VI」)。



テイルリスクは確率分布を構成する一つの要素であり、統計学における中心極限定理によりシグマとして吸収されるものと解釈しています。なお任意の確率関数が(対数)正規分布に収束することのモンテカルロシミュレーションによる裏付けは「長期投資における確率分布のシミュレーション(ガウス+ローレンツ分布)」「リスク分布と複利後の確率振幅との関係(後編)」等で実施しています。



昔から長期投資の必要性についての意味付けを考えていて辿り着いた答えです。複利の力を借りることが、シグマを振り切って離陸することが、確率に裏付けされた長期投資の存在の証明だと考えています。

なお論理的根拠となる確率解釈からの長期投資の定式化については「長期投資における元本割れの確率」「元本割れ確率則」「長期投資の定義(元本割れ確率編)



これを初めから知っていればアセットアロケもまともな形で資産運用を始められたのに、と無念に思います。端的に言えば「突破力のあるものは一発屋になる可能性があるということ」。似たような話でインデックスとアクティブとの関係も考察可能と考えています(「長期投資においてインデックスファンドが合理的であることの考察」)。



インデックスのバラツキを「サチる」とは異なる「Dレンジ」の概念で考察しています。こちらは最小信号と最大信号との比をDレンジと定義しています。「ランダムウォークのダイナミックレンジ」は「時間リスクの確率振幅」を言い換えたものです。この結果から、時間リスクは3σのマージンを確保する必要はなく1.5σくらいが落としどころではないかと考えています。関連して暴落のダイナミックレンジの確認は「確率に「織り込まれる」ということ」。



「相乗平均(中央値)はシグマによって相加平均(平均値)から逓減するため指数関数であるインデックスでは平均値を得られる可能性は50%に満たない」というのが時間リスクの確率解釈における結論の一つです。これを集合として捉えると等配分が平均値を得るための手段になりうると考えています。

また「有限のシグマが存在する場合に複利2倍則で相加平均を用いると所望の時間では2倍にならず相乗平均であっても確率は50%」となります(「72の法則の確率解釈(長期投資における平均になる確率)(相乗平均版)」)。なお平均ではなく2倍および任意のk倍になる確率(相乗平均基準)については「長期投資における2倍になる確率」「長期投資の定義(2倍になる確率編)」で考察しています。



波動砲を連続確率分布に変換し、時間とリスクとの関係を立体化したものです。特にリスク(バラツキ)、中央値、最頻値の時系列推移が見える化できます。初代は「長期投資リスクの三次元確率解釈」。

【統計インデックスの性質に関する考察】


外乱に対する等配分のロバスト性を考察しています。この統計的作用が裏で働いてくれるため、等配分はなにも考えなくてもそれなりの結果を出してくれると考えています。グラフはイメージセンサーの分光スペクトルをイメージしています。

その他、ロバスト性に関して「等配分(クリップ)のススメ」「期待値の分散とEqual Weight」「合成リスク最小配分の一般形」でポテンシャルの議論を、「「誰がインデックス投資は時価総額比率って決めたん?」」でロバスト最適化の一例を考察しています。



統計量をウェイティングの要素とした「統計インデックス」の数学的記述とリスク平面上のポジショニングを集約したものです。等配分、最小分散、最大シャープレシオ、リスク配分均等型、コスト配分均等型等の導出をまとめています。

また統計インデックスの時間的な性質をニッセイ基礎研の資料を元に考察したのが「非時価加重インデックスの周波数特性(世界株)」になります。統計インデックスの時間方向のノイズリダクションに対する応答(リスク低減の効率)が時価インデックスより高いことを示していると考えています。また統計インデックスの確率的な性質も分布で考察可能と考えています(「長期投資において「高配当+等金額」が合理的であることの考察」)。



log-normalの平均値であることが、消失リターンを消失させることが、私が考えるイコールウェイトの合理性の証明なんです。

このベースとなる考察が「イコールウェイトインデックスの合理性」であり、イコールウェイトインデックスに関するまとめを「「インデックスの倒し方、オレはもう知ってますよ」」で実施しています。何より等配分は美しいです(「等配分のいいところ」)。



無数の加重平均も分布は平均値に収束すると考えています。そのスピードは等配分が最も速く、n増しに応じてデルタ関数的に近づいていき、構成要素が集合の母数に一致する時に必ず平均値となることが等配分の特異性を表していると考えます。



「時価加重とはただの時価の変動であってウェイティングではない」「効率的とはバラツキを対数正規分布させること」と考えるとそれまでの考察が点から線として繋がりました。これがインデックスファンドとして売買や積立を実施するとその時点で時価がウェイティングになってしまうという話であると理解しています。一応実指数でもそれらしいことを確認しています(「時価加重インデックスの時価分布について(TOPIX)」)。



均等配分が意味の無いものでないことの証明。



シグマ(標準偏差)は単にブレ幅を表すだけでなく、相乗平均(消失リターン、リバランスボーナス)にも影響を与える重要な統計量です。インデックス投資はシグマを管理するという視点が欠落した時価総額比率に限定されません。非時価による定量的な判断を駆使してシグマを制御することがインデックス投資の本質と考えます。リターンは論理的な行動の結果に過ぎないもの。

【Others】


Encircled Functionライクの累積ヒストによる「偏り」の定量化&可視化です。その前の「時価総額加重を崩すということ」で均等度や分散度等の勝手な指標を定義し、「日本株インデックスのウェイトヒストグラム」等で指数の「偏り」を確認しています。



このアイデアは幸運でした。この疑似均等型により何でも都合のいい配分が可能になります。



同じネタで他に「「そこに問題があるなら、どう解決すべきか」」。統計やインデックス投資にこのような繫がりがあると興味を持って取り組めると思います。個人的にはFF5のあの雰囲気と「新しき世界」が好きです。「とかなんとか言って本当は、この子にホの字じゃないのかい?」「・・・そうですね。僕はレナが好きなんですよ」



個人的に大事な雪山を一つ入れます。2015年は天気がよくてよい絵がたくさん撮れたシーズンでした。なので雪山の「インデックス表示」をしてみました。端の色被りが惜しいですが、小さいセンサーの割によくがんばってくれたと思います(最後の八方尾根でカメラは力尽きて起動しなくなってしまいました)。でも雪山の記事って全然需要ないんですよね。白い雪と青空の写真とかきれいで私は好きなんですが。




ネタに見えるかも知れませんが、「インデックスの力を投機の道具に使われていることを、インデックス投資家は何とも思わないのか?」という疑問がウラにあります。そしてこのETFの力もlogにしてしまうと大したことなさそうに見えてしまうのが指数関数の恐ろしさだと思います(「みんな一体何と戦ってるんだ」)。またゲイン系インデックスは効率的市場に対する反例とも捉えられます(「市場効率性とレバレッジETFは矛盾していないか」)。それにしても大佐最高ですわ。



変動と勝負するインデックス、インデックスファンドの「設計」に数学や統計を汲んでいただきたいという願いです。「分散」の定義や程度の考え方、優先度は人それぞれかも知れませんが、研究開発やシステム等で普通に使われる概念を資産運用に適用できない道理は無いはずです。




統計学による「時価総額加重平均ポートフォリオ」の否定。

ほんとうに、この理屈を王様にしている限りインデックス投資は思考停止のままだと思います(「市場って時価加重の良さを台無しにしますよね」「思考停止かインデックス投資は。」)。たとえ歩きにくくても、インデックス投資が艱難の道を進みロジカルに進化していくことを望みます。

そもそも時価総額比率に定量性があればいいんですが「時価加重が効率的とされる理由」は定性的ですし、意味のある偏りとそうでない偏りがあると考えます(「アンバランスな時価総額比率を統計で正当化する方法」)。コスト、運用面での合理性に統計的な正当性を意味付けるための独自の定式化は「時価加重の証明モドキ」、時価加重に関するまとめは「時価加重のこと。非時価加重について。」で実施しています。



インデックス長期投資が簡単ではないことの考察です。統計学は市場変動への対抗手段であり、合理性と客観性を自動的に発動する「機械」であると認識しています。

【お詫びとお礼】
これらの考察は先人によって構築された数学・統計のほんの欠片をインデックス投資に応用したものに過ぎません。結局のところ「インデックス」「インデックス投資」とは誤差論と確率解釈を使いこなして変動に対する効率と未来の不確定性に対する精度を上げることであると理解するようになりました。

数学や統計による論理的定量性はインデックス投資をドライブするためのインターフェースであり、資産形成において定性的で曖昧なまま放置されている事象・概念の「統計的な意味付け」をモチベーションとして、解析できるものは「すべてを証明していこう」という目標のもと考察を続けてきました。特に「背景にある式よりも、それをどうグラフで表現するか」をテーマとしてやってきました。個人レベルではありますが、本記事をもってインデックス投資の統計的性質における私なりの体系化をすることができたと考えています。

このページに挙げた一連の考察は、インデックス投資が「コストしか見ていない」わけではないことを示したいという意志があります。我々の日常を支える統計がインデックスの中にもあるなら、インデックス投資はウェイティングのロジックなどコスト以外に議論すべきことはあると思います。進化していくための理由を。

中にはいただいたコメントから考察に繋がったものもあり、ヒントをくださった方々に御礼申し上げます。おそらくインデックス投資を同じように捉えている方は全国におられ、たまたま私がネットに書き殴っているだけなのだと思います。

なお、このブログは個人の「考察の記録」を主体としたただの素人の暇つぶしメモです。ゆえに金融商品の評価サイトではありませんし、資産運用の解説サイトという認識もありませんので、記載内容の是非は自己判断でお願い致します。

私としてはこれからも「統計的インデックス投資」を実践し、継続していきたいと思います。

コメント

2. おめでとうございます

先ほどは途中で送信してしまい失礼しました。
1000回達成でお祝いを述べるのが正しいかわかりませんが、いつも参考にさせてもらっています。
「統計的インデックス」という言葉は良いですね!
インデックスファンドの信託報酬も現状の限界値レベルまで下がってきたと思いますし、今後は市場の意味不明なσにできるだけ影響されないインデックスが発展して行って欲しいですね。

3. >ガッツさん

コメントありがとうございます(^^)
大変励みになります。

>「統計的インデックス」という言葉は良いですね!

自分で言うのもなんですが私もお気に入りです(^^)

>信託報酬も現状の限界値レベル・・・市場の意味不明なσにできるだけ影響されないインデックスが発展して行って欲しい

同じ考えの方がいらっしゃることがわかり、なんというか救われた思いがします。インデックス投資はコスト(金融機関側)だけに頼るのではなく、異なる視点を持ち、自ら課題をクリアしていくという考え方が必要だと思っています。それが統計的インデックスですね。

今までのペースを継続することは難しいですが、微力ながらそんな感じにベクトルを変えていければと考えています。

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