「効率的フロンティアの経時変化」で3資産以上の有効フロンティアを求めたいと思いました。このシリーズは、あるリターンを満たすウェイトの集合のうち、シグマを最小にする組み合わせを見つけ出すことがテーマです。

2資産なら一方が決まれば他方も自動的に決まりますが、3資産以上は不定です。したがって、シグマだけで考えた「合成リスク最小配分の一般形」のラグランジュ未定乗数法にリターンの制約条件を追加して解いていきます。基本的な流れは同じです。考えやすいように3資産から始めます。Rを合成リターンとします。

σf^2=W1^2σ1^2+W2^2σ2^2+W3^2σ3^2+2r12W1W2σ1σ2+2r23W2W3σ2σ3

+2r31W3W1σ3σ1　・・・①

W1+W2+W3=1　・・・②

W1r1+W2r2+W3r3=R　・・・③

ここで①をf、②の左辺-右辺(=W1+W2+W3-1=0)をg、③の左辺-右辺(=W1r1+W2r2+W3r3-R=0)をhと置いて次の式を定義します。

f'=f-λg-γh  (λ,γ≠0)

停留点（微分がゼロになる点）を求めると、

∂f'/∂W1=2W1σ1^2+2r12W2σ1σ2+2r31W3σ3σ1-λ-γr1=0

∂f'/∂W2=2W2σ2^2+2r23W3σ2σ3+2r12W1σ1σ2-λ-γr2=0

∂f'/∂W3=2W3σ3^2+2r23W2σ2σ3+2r31W1σ3σ1-λ-γr3=0

∂f'/∂λ=-(W1+W2+W3-1)=0

∂f'/∂γ=-(W1r1+W2r2+W3r3-R)=0

ここで式を整理します。普段は共分散を相関係数で表していますが見やすくするためrijσiσj=σij(=σji)と置き換えて、

W1σ11+W2σ12+W3σ13=λ/2+(γr1)/2

W1σ21+W2σ22+W3σ23=λ/2+(γr2)/2

W1σ31+W2σ32+W3σ33=λ/2+(γr3)/2

W1+W2+W3=1

W1r1+W2r2+W3r3=R

上の3本の式から規則性が見えます。よって、ここから行列を用いて考えます。

基本的にσijもriも与えられているので、ウェイトWiは合成リターンRの一次式ベクトルになります（a,b,c,dは共分散と個々のリターンで決まるスカラー定数）。与えられた条件によってウェイトがマイナスになる組み合わせがあるので注意です。その組は「解なし」となります。

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