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インデックス・ドライバー

誤差伝搬法則

合成リスクの根拠となっているいわゆる誤差伝搬法則を確認します。

f=f(x,y)という関数があるとし、全微分(全変数の微小変化の和)をとると

df=(∂f(x,y)/∂x)dx+(∂f(x,y)/∂y)dy

両辺自乗して

df^2=(∂f(x,y)/∂x)^2dx^2+(∂f(x,y)/∂y)^2dy^2+2(∂f(x,y)/∂x)(∂f(x,y)/∂y)dxdy

クロス項は共分散であり独立事象であれば消えますが、相関があるとして相関係数rを用いて置き換えます。

dxdy=σxy=rσxσyとして

σf^2=(∂f(x,y)/∂x)^2σx^2+(∂f(x,y)/∂y)^2σy^2+2(∂f(x,y)/∂x)(∂f(x,y)/∂y)rσxσy

ちなみにn個の場合に一般的に書くと

σf^2=Σ(∂f/∂xi)^2σi^2+ΣΣ(∂f/∂xi)(∂f/∂xj)rijσiσj (i≠j)
=ΣΣ(∂f/∂xi)(∂f/∂xj)rijσiσj (i , j=1,…,n)

基本的にdx、dyは微小量としてテイラー展開(ベキ級数展開)的なことをしているのでσが大きくなるとずれてくるようです。

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