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インデックス・ドライバー

非CWI

CWI=Capitalization Weighted Index=時価加重インデックスとします。実に興味深いレポートがありましたのでご紹介させていただきます。


たまたま見つけた機関投資家向けのレポートです。いくつかトピックセンテンスを引用しながら自分の考えと照らし合わせていきます。

【時価加重の問題点】
・一部の大型銘柄や国、業種に偏りすぎ
・市場心理学の影響を受ける
・リスクに対するリターン効率が悪い
→全くその通りだと思います。

ただし時価加重は「市場参加者全体の加重平均リターン」を表すため市場環境のモノサシとして分析に有効。しかし「市場参加者が合理的でない局面では当然リスク・リターンは効率的にはならない」。よって「アクティブマネージャーを選ぶのと同等の注意を払って市場インデックスを選択する必要がある」。

【対策】
時価加重の問題点を把握し、自分が求めるモノとその目的を考えて最適な非時価加重インデックスを選ぶ必要があります。いくつか非時価加重インデックスが挙げられている中で個人的に興味があるのは考え方がシンプルな以下のふたつです。

①イコールウェイトインデックス(「平準化グループ」)
図表4「時価加重インデックスの構成イメージ」を累積のウェイトヒストグラムで表すと以下のようになります。


上位x銘柄で時価のy%を占めるということを割合で表した相関図で言っていることは同じです。また図表5「イコールウェイトインデックスのリターン特性」で先日のインデックス対決と同じ考えのものが示されています。


ちなみにEWIは「逆張り的(マイナスモメンタム的)な要素を持つインデックス」。そのため市場環境によって好不調はあります。

②最小ボラティリティインデックス(「リスク・リターン改善型グループ」)
このインデックスを実現するための"リターンを考慮しない合成リスク最小ウェイト"は以下で表されると考えています。


これ実際に計算しようとすると逆行列の演算量がO(n!)とかO(n^3)のオーダーと言われているので大変です(Oはランダウの記号)。例えば銘柄が1000あれば1000!や1000^3回のオーダーの計算をしないといけません。

個人的に最近リスクを下げようという方針に変わりつつあるのでこの最小ボラティリティインデックスにも興味があります。ゴールまでそれなりに時間があるのでリスクは取れるのですが、「シグマで失われるリターン」で考えたことが引っかかっているからです。


この図のように例えばシグマが15%と20%で1%も消失リターンに差が出てくることがわかりました。よって不確実な期待リターンを追うより無駄なリスクによるリターンの消失を避けることで投資効率を上げたいと考えています。

なお「リスク単位あたりのリターンの最大化を目的」(=原点を通り効率的フロンティアに接する傾き最大の直線=シャープレシオ最大)とするインデックスは、リターンが変わりやすいということとそれに応じて頻繁に売買を繰り返す必要がありそうなイメージがあります。リスクはリターンに比べれば変化率が小さいため頻繁な変更が必要なく効率的と考えています。

レポートの主は日興アセットの方です。日興AMは非時価加重の考え方を持っていらっしゃるようなのでもしかしたらそのうち出してくれるかもしれませんね。日興AMはETFに積極的ですが投資信託(年金積立)で実現してくれるとありがたいです。

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コメント

1. 無題

①イコールウェイトインデックス
いいですね
小型やバリューの影響という説もありますが
私は別の説を考えています
株価収益率の分布が対数正規分布に近似できるので
投資家の成績の分布も同じにようになります
等金額加重は銘柄数が多く、大数の法則が働くので
その成績は対数正規分布の平均値に近づきます
対数正規分布では平均値>中央値なので
大半の投資家の成績を上回ります
時価総額加重が負ける原因は
時価総額上位の銘柄の影響が大きく
大数の法則が比較的働きにくいからだと思います

2. コメントありがとうございます。

>NONAMEさん

コメントありがとうございます。

>等金額加重は銘柄数が多く、大数の法則が働くので
>その成績は対数正規分布の平均値に近づきます
>対数正規分布では平均値>中央値なので
>大半の投資家の成績を上回ります

確かに市場分布全体を等金額投資で満遍なくカバーすることで対数正規分布の"平均値"を実現することができそうですね。おっしゃる通りかと思います。勉強になります。

個人的には「等σ等相関における等配分の合成リスク最小化が大数の法則で近似的に成り立つ→単位リターンあたりのリスクが小さくなる」こともあるのではないかと考えています(実際のリスクは時価総額加重より大きくなっていますが・・・)。

>時価総額加重が負ける原因は
>時価総額上位の銘柄の影響が大きく
>大数の法則が比較的働きにくいからだと思います

私も時価総額加重は実効的な銘柄数が減り(以前の記事で私が"分散度"と言っていたもの)、分散や大数の効果が弱くなると考えています。

ちなみにNONAMEさんは時価総額加重は対数正規分布の"中央値"に来ると考えておられるという理解でよいでしょうか?

また、タイムリーにコメントをいただいたので予告になりますが、

>対数正規分布では平均値>中央値なので

このあたりの話は次の時間リスクの確率分布で少し触れますのでよろしくお願い致します。

3. 無題

返信ありがとうございます

>ちなみにNONAMEさんは時価総額加重は対数正規分布の"中央値"に来ると考えておられるという理解でよいでしょうか?

いいえ、そのようには考えていませんでした
時価総額上位の株価収益率によって、大きく変わると思います
「投資家の成績の分布も同じにようになります」はおそらく間違いです

しかし、それでは時価総額加重が負ける原因に論理的な飛躍がありますね
大数の法則の働きが弱ければ、平均値からのブレが大きくなるだけで
時価総額が等金額に負ける確率は半分のはずです
等金額≒対数正規分布の平均値はなかなか良い考えだと思って
勘違いしてしまったようです
申し訳ありません

こちらこそ間違いに気がつけて、助かりました
ありがとうございます
これからも面白い記事を楽しみにしています

4. 私もついていくのがやっとなのですが・・・

>NONAMEさん

>時価総額上位の株価収益率によって、大きく変わると思います
>「投資家の成績の分布も同じにようになります」はおそらく間違いです
・・・
>大数の法則の働きが弱ければ、平均値からのブレが大きくなるだけで
>時価総額が等金額に負ける確率は半分のはずです

確かにこれだけでは時価総額が分布のどの位置に来るかは判断できませんね。ただ、

>等金額≒対数正規分布の平均値はなかなか良い考えだと思って
>勘違いしてしまったようです

確認ですが、時価総額がどこに来るかは置いておいて、「等金額=平均値」であり「中央値=確率50%の集合」には"勝率"で優るという考え方は対数正規分布の解釈としては事実でよいですよね?

>これからも面白い記事を楽しみにしています

そう言ってもらえるとありがたいです。ネタ的には厳しいですがこれからもなるべく頑張りますのでよろしくお願い致します。

5. 無題

>"勝率"で優るという考え方は対数正規分布の解釈としては事実でよいですよね?
わかっておられない内容がわからないので、できる限り詳しく書きます

必ず正しい事は
①等金額=株価収益率の平均値
②対数正規分布の平均値>中央値
両方とも数学的な事実です

明らかに間違っている事は
③現実の株価収益率の分布が対数正規分布になる
対数正規分布に"近似"できるだけです
厳密には対数正規分布ではあまり起きないような
激しい変動が頻繁に起きています(ファットテール)

なので、現実にはファットテール次第で
株価収益率の平均値<中央値になる可能性があります
(3銘柄で考えれば、明らかだと思います)
株価収益率の平均値が中央値に
"勝率"で優るのかどうかは、私にはまったく不明です

6. だんだん沼にハマってきて申し訳ありませんが、、、

>①等金額=株価収益率の平均値
>②対数正規分布の平均値>中央値

→了解です。

>③現実の株価収益率の分布が対数正規分布になる
>対数正規分布に"近似"できるだけです
・・・
>株価収益率の平均値<中央値になる可能性があります
>(3銘柄で考えれば、明らかだと思います)
>株価収益率の平均値が中央値に
>"勝率"で優るのかどうかは、私にはまったく不明です

私が勝率の意味を履き違えているかも知れません。

確かにテイルリスクなどで単位時間あたりの騰落率が正規分布に従わない場合は資産価値は対数正規分布にならないと思います。その場合は統計量の関係は何とも言えないと思います。ただ今回は理想的な分布の場合を考えたいです。

例えば分布がn個で構成されていて、等金額インデックスはn個に等配分するため平均値が得られる。一方分布の半数は「中央値<平均値」なので、NONAMEさんが最初におっしゃった「大半の投資家(銘柄)の成績を上回る」のは正しいと思います。つまり"数"で言えば勝率で優るのではないかと考えます。

しかし、投資家(銘柄)すべてを平均した結果は結局対数正規分布の平均値となり、"資産価値"で言えば勝率は五分。

これを等金額以外のインデックスで考えても同じかと思います。n個からランダムにm個を選んで(ある加重平均で)投資するインデックスがあるとすると、"数"で言えば平均値以下を選ぶ確率は半分以上あるが、極端にプラスの銘柄が全体の平均を押し上げ、またこのようなインデックスが何種類もあると、それらをすべて平均した"資産価値"は結局のところ対数正規分布の平均値に落ち着くのではないかと思います。

もちろん、

>時価総額上位の株価収益率によって、大きく変わると思います
>「投資家の成績の分布も同じにようになります」はおそらく間違いです

加重平均される銘柄の収益率次第で投資家の成績の分布も変わってくると思いますが、近似的には

>時価総額が等金額に負ける確率は半分のはずです

になるような気がします。すみませんやっとNONAMEさんのコメントが理解できました。よろしくお願い致します。

7. 無題

>ただ今回は理想的な分布の場合を考えたいです。
了解です

>私が勝率の意味を履き違えているかも知れません。
おそらく、すれ違いがあったと思います
Rockyさんが意味している事は
銘柄ごとの株価収益率について
"平均値は銘柄の半分(中央値)を上回るのか"
という理解でよろしいですか?
その意味で対数正規分布ならば
②なので必ず上回ります

>「大半の投資家(銘柄)の成績を上回る」のは正しいと思います。
「大半の銘柄の株価収益率を上回る」という表現が適切だったと思います

頭の整理ができました
ありがとうございました

8. こちらこそありがとうございました。

>"平均値は銘柄の半分(中央値)を上回るのか"
>という理解でよろしいですか?
はい。

>「大半の銘柄の株価収益率を上回る」という表現が適切だったと思います
さらに興味があるのは、この"銘柄"の部分を"インデックス(ポートフォリオ)"に置き換えたときにどう考えられるかについてです(中心極限定理で平均値に収束するような気がしていますが)。今回かなり有意義な議論ができたと思いますので、これを踏まえ近いうちに問題提起的な記事を書かせていただこうと思います。私もまだよくわかっていない部分があり勘違いを連発するかも知れませんが、どうかまたご教示をお願い致します。

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