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インデックス・ドライバー

時間リスクの確率分布VII

「VII」は投資とは関係ないおまけです。「II」で微分方程式が出てきましたが、ある時点の変分がその時点の自身に依存するケースで代表的な例を思い出したのでご紹介します。放射性同位体の崩壊です。

放射性同位体がN(t)個あり、時刻tとともに減少していく場合を考えます。崩壊の比例定数をλとすると、

dN(t)/dt=-λN(t) ・・・①

時刻tにおける崩壊数dN(t)/dtがその時点のN(t)に比例するという微分方程式です。自分を微分したら自分になる関数は何かという式です。おそらく微分方程式で最も簡単な形のひとつです。この前の資産価値の式と同じです。

①を以下のように書き換えます。

dN(t)/N(t)=-λdt

初期値をN(0)として両辺積分します。

ln[N(t)/N(0)]=-λt
N(t)/N(0)=exp[-λt]

このように放射性崩壊は指数関数であることがわかります。自分を微分したら自分になる関数がexpです。

ここでN(t)=(1/2)N(0)となるtを半減期τと定義すると、

1/2=exp[-λτ]

τ=ln(1/2)/(-λ)=ln(2)/λ

これが半減期です。この時間がn回経過すると同位体の数は(1/2)^nになります。

放射性崩壊と投資との違いは指数関数の肩がプラスかマイナスかということです。もちろん投資でそこがマイナスになるなら初めからやらないです。

(※今回で一応このシリーズは終了です。)

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