ウォール街のランダム・ウォーカー（原著第9版）P.253に「図2 主要な金融資産のリターン（1926～2005年）」という表があります。
昔読んだときに疑問に思ったのは、
①なぜ幾何平均（相乗平均）と算術平均（相加平均）の二種類のリターンが載っているのか
②なぜ幾何平均（相乗平均）と算術平均（相加平均）とで値が異なるのか
この点について本文には説明がありません。その後の考察からシグマで喰われるリターンの存在に気づきました。例えば配当や利子は相加平均と考えられます。それがシグマでバラついた後の相乗平均は相加平均より「σ^2/2」だけ小さくなる（対数正規分布）。我々が受けられる複利リターンは相乗平均なので、配当や利子がそれだけ侵食される（ただし期待値（平均値）は相加平均）。だから二種類のリターンが記載され、それらの値が異なると理解しています。
経時変化ver2.0で使用した2013年末の20年データから同じような表を作ってみます（月率から年率に換算。分布は月率のまま）。特に「相乗平均（ｇ）」と「ｒ-σ^2/2」がどれくらい一致するか確認します。
| 日本株（MSCI JAPAN） |
変化率の分布（月率） |
| 相乗平均（ｇ） |
0.98% |
 |
| 相加平均（ｒ） |
2.69% |
| 標準偏差（σ） |
18.30% |
| ｒ-σ^2/2 |
1.02% |
| グロ株（MSCI KOKUSAI） |
変化率の分布（月率） |
| 相乗平均（ｇ） |
8.41% |
 |
| 相加平均（ｒ） |
10.49% |
| 標準偏差（σ） |
19.33% |
| ｒ-σ^2/2 |
8.63% |
| 新興株（MSCI EMERGING） |
変化率の分布（月率） |
| 相乗平均（ｇ） |
5.38% |
 |
| 相加平均（ｒ） |
9.21% |
| 標準偏差（σ） |
26.22% |
| ｒ-σ^2/2 |
5.77% |
| 日本債（日興債券PI） |
変化率の分布（月率） |
| 相乗平均（ｇ） |
2.58% |
 |
| 相加平均（ｒ） |
2.62% |
| 標準偏差（σ） |
2.81% |
| ｒ-σ^2/2 |
2.59% |
【考察】
「相乗平均（ｇ）」と「ｒ-σ^2/2」が良く一致しています。リスク（分散）とリターンが「等価」であると考えることができます。
（関連記事）
