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インデックス・ドライバー

インデックス投資の研究状況を知りたい

※画像は野沢温泉スキー場のツリーランエリアのモノクロ仕様です。

インデックス投資の「迷いの森」シリーズ第3弾。


【考察】
「インデックス投資」や「インデックス(指数)」は今の時代も研究対象なのでしょうか。インデックス投資の学問的な研究がどこまで進んでいるか知りたいです。

時価比率フリーライドとして既に確立しているインデックス投資は研究にも値しないのでしょうか。その割には理論的な穴が多いように思うのです。私の指摘する事項なんて大昔からわかっているはずなので、その論理的裏付けや対策くらいは研究結果があってもいいと思うのです。

金融工学では客観性に基づく効率的な指数やアルゴリズムの開発の他に、時価比率の定量性に関する見解は出ているのでしょうか。

インデックス投資はまだ考えることがあるはずです。例えば、

①時価総額加重平均が全投資家の「平均値」になることの一般的な証明
②市場ポートフォリオの客観的な視点からの合理性の定量化
③時価比率と平均分散分析との整合性
④市場平均に対するフリーライダー問題の改善策

特に「市場ポートフォリオが効率的」というのは証明や検討が不十分なのではないかと考えています。

【まとめ】
これだけ不備があるのに研究し尽くされたということはないはずです。ゆえに、市場平均が効率的というのは早計ではないでしょうか(私の勉強不足でしたら申し訳ありません)。

インデックス投資にとっては「フリーライドと低コストでうまくいっているのに波風を立てるな」という感じになりそうですが、そんな後ろ向きの考え方ではあまりにも未来に希望がなくて淋しいと思います。

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コメント

1. 無題

話をする相手が間違ってませんかね。時価総額との整合性なんてインデックス投資の人たちは気にしてませんよ。
あくまで広く分散されたパッシブなポートフォリオに対して、ウェイトをつけたり、タイミングを選んだりした方法がコスト控除後に勝つのが難しいという各種研究があるという話です。
そして今やインデックス投資してる人は時価総額インデックスなんてものは使ってませんし。(TOPIXにしろMSCIにしろ時価総額じゃない)

2. 探し方

Google Shcolarで「index portfolio」等で検索したり、普通のグーグル検索でもその後にarticlesと足したりすると、それなりのものが見つかります。また直接ヒットしなくてもその手の論文の中にはたくさんの引用があるのでその引用されている論文を当たるのが良いのでは。

3. >吊られた男さん

>時価総額との整合性なんてインデックス投資の人たちは気にしてませんよ。 ・・・そして今やインデックス投資してる人は時価総額インデックスなんてものは使ってませんし。(TOPIXにしろMSCIにしろ時価総額じゃない)

浮動株のことでしょうか。インデックスが対象とする額としては時価(株数×株価)に依存している点で私はあまり区別していませんが、そのあたりで言葉の齟齬があるならお詫び申し上げます。時価総額でも浮動株でも、それぞれの考える投資をすればよいと思います。

>Google Shcolarで「index portfolio」等で検索したり、普通のグーグル検索でもその後にarticlesと足したりすると、それなりのものが見つかります。

ありがとうございます。参考にさせていただきます。

4. 無題

①時価総額加重平均が全投資家の「平均値」になることの一般的な証明

浮動株調整時価加重インデックスで、そうなっていないと考える理由はどのようなものでしょうか?
株が投資家と非投資家(例えば持ち合い株主、自己株式、オーナー保有分のような、市場での取引を目的としない株主)に保有されているとき、
浮動株でない株(非投資家に保有されている株)を除いた全ての株を保有すると、
それは全ての投資家の保有する株のリターンを、その大きさに応じて加重平均したものになると思うのですが。
(もちろん、どうやって浮動株でない株を決定するのかという問題が残りますが)

特に「市場ポートフォリオが効率的」というのは証明や検討が不十分なのではないかと考えています。

CAPM理論のことかと思いますが、その後の実証研究でCAPMが全然成り立っていない例が多数発見されています。
(その例の一つが、ファクター(バリュー効果、小型株効果など)と呼ばれるものです)
市場ポートフォリオがまったく効率的ではないのはわかっているのですが、
かといって市場ポートフォリオ(浮動株調整時価加重)はあまりに普及してしまって、かつ低コストで運用が楽ということもあり、
運用を委託する側がその妥当性を十分検討していないというのが現状かと思います。

5. >ロボたいしょうさん

>それは全ての投資家の保有する株のリターンを、その大きさに応じて加重平均したものになると思うのですが。

説明が下手で恐縮ですが、例えば積立で購入していくとして、ある月に購入した時点の時価はその人のその後のリターンには関係ないものですよね(投資した時点で損益はゼロ)。そしてその人が次月に当月分を購入した時点で前月分は変化していて、当月分はまたゼロからスタート。

その時間軸方向の積分を考慮したリターンと、時価の大きさは相関があるか、という話です。投資家によって購入タイミングも購入量も異なります。それを全投資家で平均したらどのような平均になるか、という問題と認識しています。

重要なのは時価の「絶対値」(をその比率で持つこと)ではなく、リスク資産にさらした時点からの「変化率」が投資成果であることです。

絶対値(資産総額)で見れば時価総額加重平均が「平均値」になるのかも知れませんが、個々の投資家のリターン(変化率)で見ればその限りではないと考えています。

無数の投資家が無数の比率で銘柄を保有した場合の変化率の確率分布は対数正規分布の平均値に収束することをモンテカルロシミュレーション的に考察したのが以下の記事なります。宜しければご確認いただけるとありがたいです。

加重平均の平均値への収束について
http://indexdriver.blog.shinobi.jp/Entry/913/

この平均値と時価比率が一致するかを一般的に証明する必要があるのではないかと考えています。


>市場ポートフォリオがまったく効率的ではないのはわかっているのですが、
かといって市場ポートフォリオ(浮動株調整時価加重)はあまりに普及してしまって、かつ低コストで運用が楽ということもあり、
運用を委託する側がその妥当性を十分検討していないというのが現状かと思います。

以前からも書いているのですが、「CAPM」が観測的だけでなく統計的にも瑕疵があることは考察していますし、一方で時価はコストで合理的であり全否定しているわけでもありません。

おっしゃる通り時価比率が充分に検証されていないこともあると思いますし、その意味付けが定性的であるのを定量的にしませんか、と述べているものです。「バリュー効果」とか「小型株効果」というのも定性的な説明に留まると思いますので、それを定量化できないかと考えています。

6. 無題

その時間軸方向の積分を考慮したリターンと、時価の大きさは相関があるか、という話です。投資家によって購入タイミングも購入量も異なります。それを全投資家で平均したらどのような平均になるか、という問題と認識しています。

この点がよくわからないのですが、
ある投資家が株式を取得する前には、別の投資家がその株式を持っていたはずです。
投資家によって購入タイミングが違う云々が論旨とどのように関係するのでしょうか?


重要なのは時価の「絶対値」(をその比率で持つこと)ではなく、リスク資産にさらした時点からの「変化率」が投資成果であることです。

時価加重平均が大事なのではない、ということですが、
投資家が100人いた時に、その100人の(投資時点から累積の)損益の算術平均をポートフォリオで再現したいということなのでしょうか?

7. >ロボたいしょうさん

>投資家によって購入タイミングが違う云々が論旨とどのように関係するのでしょうか?

例えば時価1億円の銘柄Xが1→2→3億円と変化したとして、Aさんが1の時点で購入して3になった場合(+200%)とBさんが2の時点で購入して3になった場合(+50%)。また時価1兆円の銘柄Yが1→2→3兆円と変化したとして、Aさんが2の時点で購入して3になった場合(+50%)とBさんが1の時点で購入して3になった場合(+200%)。これらを平均するとAとBそれぞれトータルの変化率としては同じです(時価の絶対値によらない。また時価はタイミングに応じて変化している)。

さらにXとYを購入するタイミングも、XとYを持つ比率も、それぞれの投資家で自由なんだから、そのような投資家を無数のパターンで平均したらどうなるのか、という意味です。私はそれが時価加重ではなく相加平均になるのではないかと考えています(それが前のコメントで示した記事のモンテカルロです。ただしあのsimには時間方向の購入タイミングのパラメータ(積立など)は入っていません)。

>投資家が100人いた時に、その100人の(投資時点から累積の)損益の算術平均をポートフォリオで再現したいということなのでしょうか?

だいたいそんな感じです(スタートは等しいと置く必要があります)。それが真の「平均(相加平均)」ではないでしょうか。それを再現するのがイコールウェイトインデックス(均等配分)と考えています。

8. 無題

>これらを平均するとAとBそれぞれトータルの変化率としては同じです(時価の絶対値によらない。また時価はタイミングに応じて変化している)。 

収益率が時価の絶対値によらないことは、わかります。


>さらにXとYを購入するタイミングも、XとYを持つ比率も、それぞれの投資家で自由

XとYを持つ比率(出現頻度)は、全体としては(無数のパターンを考える時には)時価総額に比例しているのではないですか?
時価総額がダメだというなら、発行株式数でも株主数でも良いですが、一投資家ではなく投資家全体を考えた時にXとYの比率(出現頻度)が自由というのはさすがに有り得ない仮定だと思うのですが。

全ての投資家が全くランダムにポートフォリオを持っている時に、投資家の無数のパターンを平均すると等金額ポートフォリオに近づくという主張は、モンテカルロシミュレーションの通りかと思いますが、
現に時価総額の大きい銘柄は発行株式数も株主数も多く、多くの人が持っている銘柄であることを無視するのは前提がおかしいように思います。


>だいたいそんな感じです(スタートは等しいと置く必要があります)。それが真の「平均(相加平均)」ではないでしょうか。

(私は、投資家を全員相加平均したリターンよりも、その投資額の大きさに応じて時価加重されたリターンの方が大事だと思いますが、それは別にしても)
投資家が100人いた時の各々の保有ポートフォリオには、やはり時価総額の大きい(or発行株式数の
多いor株主数の多い)銘柄がよく出現するのではないでしょうか。

また、スタートを揃えるという意味は、投資開始時点をある1時点にしてリターンの計測をしようということだと解釈しましたが、そうであれば上記のXとYの購入タイミングが自由ということも言えないのでは。


つまり、全投資家がランダムに銘柄にウエイト付けをして保有しているときの、全投資家のリターンの算術平均が、等金額ポートに近づくという主張はわかりますが、
全投資家がランダムに銘柄にウエイト付けをしてポートフォリオを組んでいるという仮定はあまりに非現実的かと思います。
等金額ポートフォリオが、分散などの面で優れているということには同意しますが、それが全投資家の平均に近いという主張には同意できません。
全投資家の平均(時価加重にせよ相加平均にせよ)よりはだいぶ時価総額の少ない銘柄に偏ったポートフォリオになっていると思います。
少なくとも、浮動株調整後時価加重ポートフォリオが、全投資家のポートフォリオを合体させて作られるポートフォリオであることは、疑う余地がないと思います。

9. >ロボたいしょうさん

私は数学的な収束(中心極限定理)を議論しているので、「現実的には」という話をされるとおっしゃる通りの部分もあると思います。同意いただけないのは構いませんが、では「全投資家の投資成果の平均が相加平均ではなく(浮動株)時価加重になること」を定量的に示す方法をご教示いただければと思います。

>浮動株調整後時価加重ポートフォリオが、全投資家のポートフォリオを合体させて作られるポートフォリオであることは、疑う余地がないと思います。

それはポートフォリオ(配分=時価の絶対値)の集合であって、投資成果(リターン=時価の変化率)の集合ではないですよね。ポートフォリオの集合なら時価比率がそれに該当すると思いますが、投資成果の場合は少なくとも「自明」ではないと考えています。

そのためにはタイミングや比率等の要件が、ご指摘のような現実や時価の分布を反映して任意の投資家すべてを網羅する必要があると思います。また時価(出現頻度=許容されるウェイト)と売買代金、株数等が完全に比例するかといったこともクリアにすることが求められると思います。

私にはそれができないのでより一般化して考えています。

この他にも、「時価比率は対数正規分布において中央値より高く確率的にマイノリティである相加平均に対してどういう平均なのか(時価比率は対数正規分布のどこに位置するのか)」くらいは知りたいです。

インデックス投資は「(浮動株)時価加重が良い」とは主張するのに定量的な背景は気にしないのですかね。

10. 無題

「全投資家の投資成果の平均が相加平均ではなく(浮動株)時価加重になること」を定量的に示す方法をご教示いただければと思います。

市場に3つの株式
A 時価総額600
B 時価総額300
C 時価総額100
の銘柄が存在するとします。

この市場全体は(任意の)N人の投資家によって(ランダムに)保有されています。
N人の投資家のポートフォリオにおけるABCの保有割合を相加平均した、ABCの割合の分布を知り、なるべくそれに近い(分布の中央値でも平均値でもよいですが)分布で持つことが、全投資家の投資成果の平均に近いリターンを得る方法である
と考えて良いでしょうか?
(自分自身のポートフォリオは市場に比べて十分に小さく、価格には影響を与えないものとします(インデックス化という意味では実投資可能性は関係ありませんが))


N=1のとき、これは明らかに時価加重平均で、60%,30%,10,になります。

N=2のとき、市場全体をランダムに二分割したときのそれぞれのポートフォリオに各銘柄が占める割合の期待値は、60%,30%,10%になるはずです。
(それぞれのポートフォリオの合計は明らかに60:30:10ですが、個別投資家のポートフォリオではそうではないと主張する理由があれば教えてください)
よって、市場参加者の算術平均の期待値を再現するために保有すべきポートフォリオは、やはり60:30:10になるはずです。
これはNが極めて大きい場合でも同様で、全ての投資家が各銘柄を1種類を単位1だけ保有する時、市場にはAのみを保有する投資家600人、B300、C100、となるはずです。
(取引最小単位が1かどうかはわかりませんが、1ではないと考える理由も思いつきません)

これはモンテカルロシミュレーション上も確かめることが可能です。
N人の投資家にランダムに銘柄ABCを割り当てるとき、その保有割合を算術平均すると、時価総額加重に収束することが確かめられました。
(厳密に中央値かどうかは未検証ですが、等金額平均ではないのは明らかです。)

この検証については私のブログでも掲載する予定です。
http://sitake.seesaa.net/

Rockyさんはどのようにお考えになっているか、聞かせていただけると幸いです。

11. >ロボたいしょうさん

>Rockyさんはどのようにお考えになっているか、聞かせていただけると幸いです。

ここで示されているのは前回の私のコメントの

>それはポートフォリオ(配分=時価の絶対値)の集合であって、

のことですよね。それこそ自明だと思います。時価のパイを分け合っているのだから合計すれば時価になるでしょう。

私が述べているのはそのような「保有割合の期待値」や「ある瞬間の時価(絶対値)」ではなくて、

>投資成果(リターン=時価の変化率)の集合ではないですよね。

この部分です。銘柄群がその時価比率から「あるシグマをもって"複利"変化した時に」無数の全投資家の「(累積)変化率の平均」はどのような平均になるか、ということを考えているのです。

ゆえに、

>そのためにはタイミングや比率等の要件が、ご指摘のような現実や時価の分布を反映して任意の投資家すべてを網羅する必要があると思います。また時価(出現頻度=許容されるウェイト)と売買代金、株数等が完全に比例するかといったこともクリアにすることが求められると思います。

例えばこのような仮定を置いて数式なりシミュレーションを解いていただければと思い、このように書いています。リターン(変化率)なので微分値を扱う必要があると思います。

私の考えは前に述べた通りです。

加重平均の平均値への収束について
http://indexdriver.blog.shinobi.jp/Entry/913/

これはシグマを等しいと置いていたり、仰るような「出現頻度」を時価に依存させていませんので、上記のように現実や時価の分布等を反映して再構築していただければ求められるのではないかと考えています。

12. 無題


ポートフォリオの配分(ウエイト付け)の話から先にさせていただきます。

>それはポートフォリオ(配分=時価の絶対値)の集合であって、
のことですよね。それこそ自明だと思います。時価のパイを分け合っているのだから合計すれば時価になるでしょう。

投資家にランダムに保有される株式を考えた時に、投資家のポートフォリオ(時価の絶対値)の銘柄分布の平均は、時価総額の割合に従う、と認めていただいていると考えて良いですか?

そうであれば、コメント9での書き込み
>そのためにはタイミングや比率等の要件が、ご指摘のような現実や時価の分布を反映して任意の投資家すべてを網羅する必要があると思います。また時価(出現頻度=許容されるウェイト)と売買代金、株数等が完全に比例するかといったこともクリアにすることが求められると思います。 

に照らして考えた時に、
各銘柄は時価に比例して各投資家のポートフォリオにランダムに出現する
という仮定を今後の議論の前提にして良いですか?

そう仮定するとコメント5で述べているような
>無数の投資家が無数の比率で銘柄を保有した場合の変化率の確率分布は対数正規分布の平均値に収束することをモンテカルロシミュレーション的に考察したのが以下の記事なります。

無数の比率で~のくだりは成り立たなくなりますよね?
無数の投資家が無数の比率で銘柄を保有する(ただし全体としての比率は時価に比例する)
という制約式が加わることになるかと思います。

(もちろんここまでは比率の話だけをしていますので、比率が時価に比例するからといって、投資成果が時価に比例すると飛躍させるつもりはなく、議論の前提を確認しているだけです)

13. >ロボたいしょうさん

>投資家にランダムに保有される株式を考えた時に、投資家のポートフォリオ(時価の絶対値)の銘柄分布の平均は、時価総額の割合に従う、と認めていただいていると考えて良いですか?
>そうであれば、コメント9での書き込み
>そのためにはタイミングや比率等の要件が、ご指摘のような現実や時価の分布を反映して任意の投資家すべてを網羅する必要があると思います。また時価(出現頻度=許容されるウェイト)と売買代金、株数等が完全に比例するかといったこともクリアにすることが求められると思います。
>に照らして考えた時に、
各銘柄は時価に比例して各投資家のポートフォリオにランダムに出現する
という仮定を今後の議論の前提にして良いですか?

投資家のポートフォリオ(ある瞬間の時価の絶対値)の合計は時価比率と考えてよいのではないでしょうか。

>そう仮定するとコメント5で述べているような
>無数の投資家が無数の比率で銘柄を保有した場合の変化率の確率分布は対数正規分布の平均値に収束することをモンテカルロシミュレーション的に考察したのが以下の記事なります。
>無数の比率で~のくだりは成り立たなくなりますよね?
無数の投資家が無数の比率で銘柄を保有する(ただし全体としての比率は時価に比例する)
という制約式が加わることになるかと思います。

そう理解していますので前のコメントで「これはシグマを等しいと置いていたり、仰るような「出現頻度」を時価に依存させていませんので、上記のように現実や時価の分布等を反映して再構築していただければ求められるのではないかと考えています。」と書いています。

しかしこれは変化率の議論なので、全体としてのポートフォリオ(ウェイト)の比率が時価に比例するかよりも投資家の売買代金や株数が時価に比例するかの方がポイントかと思いますが(変化率は時価の絶対値に依存しませんし、時価の小さい銘柄でも売買量が多ければリターンを得たり失ったりする機会は多くなると考えられるので)。私の言っている「無数の比率で〜」は(厳密には異なりますが)そちらの意味に近く、時価に依存しないと置いています(無数の比率の中に時価も含まれている感じですかね)。売買代金や株数のパラメータがあるならば、そこを時価に比例するか等しいとするかはお任せします。

また、変化率の計算上必要になると思われる「期待リターン」や「シグマ」が各銘柄の時価に依存するかどうかは考察していただいた上で反映していただければと思います。私は明確な根拠が思い浮かばないので、ある瞬間からの期待リターンやシグマが時価に依存する仮定は置いていません。

14. 無題

>また、変化率の計算上必要になると思われる「期待リターン」や「シグマ」が各銘柄の時価に依存するかどうかは考察していただいた上で反映していただければと思います。私は明確な根拠が思い浮かばないので、ある瞬間からの期待リターンやシグマが時価に依存する仮定は置いていません。


私も期待リターンや期待リスクが各銘柄の時価に依存するとは考えておりません。
全ての銘柄(ABC)は1期間の間に平均値0%、標準偏差N%の正規分布に従ってランダムにリターン(価格変化率)が生じ、
各期間のリターンは独立で、各銘柄間の間にも相関がない(リターンはランダム)ものとする

としてシミュレーションをして構いませんか?
(正規分布はシミュレーション簡便のため、各銘柄間の相関性の無さもシミュレーション簡便のためで、どちらもこの議論の結論には関係がないものと思いますが。)


>投資家の売買代金や株数が時価に比例するかの方がポイントかと思いますが(変化率は時価の絶対値に依存しませんし、時価の小さい銘柄でも売買量が多ければリターンを得たり失ったりする機会は多くなると考えられるので)。

とありますが、これはどのような理由なのでしょうか?
期待リターンや期待リスクが各銘柄の時価に依存しないと考えた時に、
投資家の売買代金や株数が時価の変化率の分布に影響を与えると言っているのでしょうか?
>全ての銘柄(ABC)は1期間の間に平均値0%、標準偏差N%の正規分布に従ってランダムにリターン(価格変化率)が生じ、
各期間のリターンは独立で、各銘柄間の間にも相関がない(リターンはランダム)ものとする
と考えた時には、おっしゃっている部分は無関係であると考えて良いですか?

15. >ロボたいしょうさん

>私も期待リターンや期待リスクが各銘柄の時価に依存するとは考えておりません。
>全ての銘柄(ABC)は1期間の間に平均値0%、標準偏差N%の正規分布に従ってランダムにリターン(価格変化率)が生じ、各期間のリターンは独立で、各銘柄間の間にも相関がない(リターンはランダム)ものとするとしてシミュレーションをして構いませんか?

そうお考えいただければよいと思います。少なくとも私のシミュレーションはそのような条件に基づいています(合理的な仮定かどうかはご自身でご判断ください)。

>>投資家の売買代金や株数が時価に比例するかの方がポイントかと思いますが(変化率は時価の絶対値に依存しませんし、時価の小さい銘柄でも売買量が多ければリターンを得たり失ったりする機会は多くなると考えられるので)。
>とありますが、これはどのような理由なのでしょうか?
期待リターンや期待リスクが各銘柄の時価に依存しないと考えた時に、投資家の売買代金や株数が時価の変化率の分布に影響を与えると言っているのでしょうか?
>>全ての銘柄(ABC)は1期間の間に平均値0%、標準偏差N%の正規分布に従ってランダムにリターン(価格変化率)が生じ、各期間のリターンは独立で、各銘柄間の間にも相関がない(リターンはランダム)ものとする
>と考えた時には、おっしゃっている部分は無関係であると考えて良いですか?

売買代金や株数については「出現頻度」と仰ったのでそれに関連して述べただけです。仰るような「時価の変化率の分布」には関係ないと思いますので無視してください。

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