【運用管理費用の法則（グロ株、片対数）】
市販されているグロ株インデックスファンド（一部全世界株とFOF含む、DC・ETF除く）の運用管理費用（税抜）を設定時系列順にプロットして指数近似したものです。やってみると意外と関数に乗っていることに気づきました。
スタムに始まるグロ株の運用管理費用は約4.5年で1/2倍のペースで低下してきたことがわかります。
【算出】
(1/2)f(x)=f(x+Δx)
(1/2)ae^(bx)=ae^(b(x+Δx))
Δx=ln(1/2)/b
a=12580880、b=-0.0004201057
Δx[日]=1650、Δx[年]=4.52
2016年末時点でミニマムが年率0.2%（税抜）。この法則が成り立てば、2021年中頃には0.1%、2026年初頭に0.05%、2036年中頃に0.01%に運用管理費用は低減していくことになります。
もちろんあくまで過去の結果をトレースしただけの経験則であり、今後も近似曲線のように低下していくという保証はありません。しかもグロ株しか見ていませんし。
【考察】
やっていることは新年のくだらない株価予想と変わらないですね。例えるなら同じ指数関数である半導体の法則（トランジスタの集積率が約2年で2倍）の方もそれに合わせて研究者や技術者が努力と思考を重ねた結果であり、何もしない外野が無責任に騒ぎ立てても何も変化しない。だから運用管理費用ばかりに固執することが本質ではないと考えられます（他人任せに慣れると自律心が失われる恐れがある）。
【インデックス投資のアクションアイテム】
◆信託報酬以外の経費の削減
◆トラッキングエラーの低減
◆S/N・相加平均（配当）の維持向上（インデックスの定量化）
◆消失リターンの軽減
インデックス投資はインデックスファンドの特性を向上させる他の手段に視点を切り替えていかないと、いつかジリ貧になる。運用管理費用には0.2%の伸び代しかなくても、他の手段にはそれ以上のマージンがあると考えられるからです。
例えば、以下は消失リターンの改善テーブルです。
【消失リターン改善テーブル】
シグマをx%からy%に低減するとz%のコスト削減と同等の効果が得られることを示すものです。例えばシグマ20%の指数を19%に軽減するだけで運用管理費用の伸び代と同じ約0.2%の相乗平均リターン改善効果になる。最適化でもスクリーニングでも、方法はいくつか考えられる。
他にも、
◆定量性に基づくインデックスの選択・設計根拠のレビュー、経費やトラッキングエラーの詳細解析と対策方針（フィードバック）の記載により投資信託説明書や運用報告書を意味のあるものにする
◆費用対効果以外の理由で時価加重を絶対的な合理に据えるなら、ある時点における時価とその後の結果に相関があることを示すなりして定性的で裏付けの乏しい議論をお終いにする
など、数字（運用成果）以外でもインデックス投資改善のためのAIはいろいろあると思います。目的はインデックス投資全般の定量化です。
【まとめ】
運用管理費用だけでなく、運用管理費用以外の方法でのインデックス投資の進化を望みます。そして結果に対してどうこうするのではなく、その結果を導くために何ができるかを考えたいですよね。
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