積立による複利計算の一般式は
An+1=(1+r)An+C
A1=C0
この漸化式を解いて
An=(C0+C/r)(1+r)^(n-1)-C/r
あるいはn=1ずつディレイした指数関数の重ね合わせと考えると
An=C0(1+r)^(n-1)+C(1+r)^(n-2)+・・・+C(1+r)+C
二項目以降は等比級数なので
An=(C0+C/r)(1+r)^(n-1)-C/r
ここでC=0とすると72の法則が適用できる形になります。
C＞0では積立のオフセットが供給されるので見かけのリターンはなまります。
そこで積立に適用できる解を求めます。
n年後の期待値
An=(C0+C/r)(1+r)^(n-1)-C/r
n年後の元本
An0=C0+(n-1)C
一般に
C=C0
An/An0=2と置くと
(1+r)^n-2nr-1=0
テイラー展開の二次まででは精度が出なかったので三次まで展開すると
(nr)((nr)^2+3(nr)-6)=0
nr=137
積み立てない場合(72)に対して2倍よりは速いようです。
ただ年利ではこれでよい精度が出るのですが月利ではまだ不十分です。
よって四次まで展開して三次方程式を解くと
(nr)((nr)^3+4(nr)^2+12(nr)-24)=0
nr=128
分割数を増やすとexponentialにより近づくのでより速くなると考えられます。
参考までに特定条件における資産変化のグラフを載せておきます。
（年利）
（月利（=年利/12））
ちなみに月利=年利/12でも月利=年利^(1/12)でも年利より速いです。
（年利＜月利（=年利^(1/12)）＜月利（=年利/12））
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