対数正規分布の統計量はμを相乗平均リターン、標準偏差をσ、時間をnとすると以下のように表されます。

期待値（平均値）	exp[(μ+(σ^2)/2)n]
中央値	exp[μn]
最頻値	exp[(μ-σ^2)n]
標準偏差	[exp[(2μ+σ^2)n]×[exp[(σ^2)n]-1]]^(1/2)=期待値×[exp[(σ^2)n]-1]^(1/2)

ここで期待値の「μ+(σ^2)/2」は近似的に相加平均リターンを表します。

「確率的な50%は相乗平均だが指数関数的に爆上げした部分まで含めて期待値を出すとそれは相加平均である」ことを示しています。

時間とともに上記の統計量がどのように変化していくかプロットします（μ=5%、σ=15%）。

【統計量の確率密度】

【統計量の累積分布】

【期待値（平均値）と標準偏差】

上の2つは各nに対して3つの点がありますがそれぞれ右から期待値、中央値、最頻値を指します。確率密度からは時間とともに統計量の差が広がっていくこと、累積分布からは時間とともに期待値も最頻値も取りうる確率が低下していくことがわかります（中央値は常に50%）。また最後の期待値と標準偏差はこの範囲ではほぼ線形とみなせそうです。

ところでこの対数正規分布の期待値と中央値との関係は、シグマで相加平均が喰われるという話と絡んできます。

「高いリターンを得るためには高いリスクを取る必要がある」という言葉は、高いリスクによりリターンが「μ-(σ^2)/2」（このμは相加平均）で減少するという考え方と矛盾していると思っていました。しかし、高いリスクによりリターンが「μ+(σ^2)/2」（このμは相乗平均）で増加するという考え方ではその言葉通り高いリスクを取ることに意味があると捉えることができます。

しかし結局どちらも期待値は相加平均のためシグマは関係ないですが。中央値である相乗平均リターンから見れば期待値である相加平均リターンはシグマが大きいほど資産価値的にも確率的にも離れていってしまうので、やはり高シグマは好ましいとは言えません。

「シグマで失われるリターン」→「シグマで失われる期待値とその確率」とする方が正確かも知れません。

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