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インデックス・ドライバー

有効フロンティアについてVII

「リスク低減率1」の最小配分を求めます。以前定式化で挫折したものですが、シグマがリターンと共分散の関数で一般的に表されたので再チャレンジします。「1」とあるのは考え方の違いで「2」を予定しているからです。

「1」の考え方は「相関が任意の共分散における合成シグマ/相関が1の共分散における合成シグマ」を合成リターンRで微分したときの停留点を求めるとします。つまりあるRにおける最小シグマにおいて、任意相関での値と相関1での値との比が最小になるものを求めます。したがってこの場合の分母のウェイトと分子のウェイトは一般に異なります。また解は有効フロンティア上の点に限定されます。

以下、相関1の共分散に関する変数に「'(ダッシュ)」を付けて区別します。


上記R'の通りリスク低減率1最小となる合成リターンはこれ以上簡単にできませんでした。

この結果を元に横軸にリターン、縦軸にリスク低減率1をプロットします。パラメータは「有効フロンティアについてIII」と同じです。


黄色の線がリスク低減率1、黄色の点が上で求めたリスク低減率1が最小となる合成リターンR'です。確かに最小値を取っていることが確認できます。

さらにこれを別の見方で考えます。横軸に「合成リターンRにおける相関1の最小シグマ」、縦軸に「合成リターンRにおける任意相関の最小シグマ」のグラフを描いたときに、縦軸/横軸(=傾き)がリスク低減率1に相当します。上の式が求めているものは、原点と有効フロンティア上の点を結ぶ無数の直線のうち、傾きが最小になるものです。


黄色の点がリスク低減率1最小で、黄色の線が原点とを結ぶ直線です。確かに傾きが最小になる直線を選択しているように見えます(余談ですが、この直線が有効フロンティア曲線の"接線"かどうかはわかっていません)。

以前からリスク低減率を押しているのは単にリスク最小では日本債に引っ張られてウェイトが偏るのに対して低減"率"ならそれ以外の解もありうると考えたからです。ただ以前はリスク低減率最小が相関係数によらないと考えていましたが、このように数式的には大いに相関(リスク含めた共分散)に依存するようです。個人的には株価の変動など常日頃から絶対値ではなく比(%)でしか見ません。リスクも同じで、"比"が最小になるなんておトクだと思いませんか。

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