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インデックス・ドライバー

72の法則の確率解釈(長期投資における平均になる確率)(相乗平均版)

72の法則(複利2倍則)を確率的に考えたときの話です。


等で見てきたように、シグマが存在する場合の元本の変動はリターン(中央値)だけでなく確率により議論する必要があることがわかりました。

従来「72の法則」と呼ばれているものは中央値である相乗平均リターンが想定されていると思います。対数正規分布における累積50%の確率で起こりうる事象は相乗平均リターンです。

◆相乗平均リターンの場合の複利2倍則
72の法則に適用するリターンの値が相乗平均リターンの場合は、対数正規分布の「中央値」の確率を取ります。つまり「50%の確率でn年後に2倍"以上"になる」という意味であると理解しています。

例えば想定している利率がμだとして、μn=0.72から求められる時間nで100%元本が2倍になるわけではなく、50%の確率でそうなると言っていることになります(シグマ≠0の場合)。あるいは「50%の確率で2倍以上にも2倍以下にもなる」「aσの確率でn年後に2倍付近にバラつく」とも言えると思います。

これを数学的に確認しておきます。

μを相乗平均、σを標準偏差シグマとするとn年後の対数正規分布の「中央値」は

exp[μn] ・・・(A)

n年後の資産価値は

f(n)/f(0)=exp[(μn+a×σ√n)] ・・・(B)

よって、n年後に「中央値以上になる確率」はA=Bより、

平均σ:a=0 (σ≠0、n≠0)

平均確率:F(a)=1-[1+erf(a/√2)]/2=0.5 ※erf(x):誤差関数

つまり相乗平均において72の法則が計算通りの時間で2倍になる確率は、リターン、シグマ、時間のいずれにも依存せず50%固定であることが確認できました。これを図示すると以下のようになります。

【2倍以上になる確率の時間・シグマ依存(3D)】

【2倍以上になる確率の時間・シグマ依存(2D)】

【時間依存(シグマ=15%の断面)】

【シグマ依存(n=30の断面)】

代表的な値を抜き出して表としてまとめます。

【平均確率(一覧)】

【平均σ(一覧)】

【まとめ】
中央値を取りうる確率(相乗平均の場合の72の法則)が常に5割の確率であることがわかります(5割の確率で2倍以上にも2倍以下にもなる)。

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コメント

1. 質問です

いきなりですが、インデックスドライバーさんに質問です。
msci world indexの年平均リターンは約5%(ドルベース)で、標準偏差を22%とした場合、
6年連続でプラスになる確率、また、7年、8年連続でプラスになる確率は何%になるでしょうか。
 2009年3月より上昇してきたこの指数もそろそろ年間でマイナスになる時期に来ているような気がしています。
計算よろしくお願いします。

2. >適当投資屋さん

本記事の対数正規分布の議論は「何%の確率でこの中に入る」ということしか言っていないので、その期間内はプラスもマイナスも取り得ます。ゆえに「今まで続いて来たから次はそうならない」という議論にはあてはまらないと思います。

それでも相加平均=5%、シグマ=22%で「n年後にプラスになる確率」でよければ、

n=6->P=61.3%
n=7->P=62.2%
n=8->P=63.0%

「●●連続で」という場合ですぐに思いつくものとしては二項分布ですが、

相加平均=5%、シグマ=22%で1年後にプラスになる確率はp=54.7%

ゆえにn回の独立試行でk(=n)回成功する確率は、

P(X=k)=nCk×p^k×(1-p)^(n-k)
P(X=6)=6C6×p^6×(1-p)^(6-6)=2.7%
P(X=7)=7C7×p^7×(1-p)^(7-7)=1.5%
P(X=8)=8C8×p^8×(1-p)^(8-8)=0.8%

>2009年3月より上昇してきたこの指数もそろそろ年間でマイナスになる時期に来ているような気がしています。

こういう数字は出ますが、最初に書いたように連続してきたとしても事象間で関連は無いので、マイナスになる確率は毎年1-p=45.3%だと思いますよ。

私も確率が好きでも得意なわけでもないので間違っていてもご了承ください。
少し考えてみて何かあればどこかで報告します。

3. 無題

回答ありがとうございました。

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