72の法則（複利2倍則）を確率的に考えたときの話です。

「長期投資における2倍になる確率」

「リスク分布と複利後の確率振幅との関係（後編）」

「リスクを組み込んだ72の法則」

等で見てきたように、シグマが存在する場合の元本の変動はリターン（中央値）だけでなく確率により議論する必要があることがわかりました。

従来「72の法則」と呼ばれているものは中央値である相乗平均リターンが想定されていると思います。対数正規分布における累積50%の確率で起こりうる事象は相乗平均リターンです。

◆相乗平均リターンの場合の複利2倍則

72の法則に適用するリターンの値が相乗平均リターンの場合は、対数正規分布の「中央値」の確率を取ります。つまり「50%の確率でn年後に2倍"以上"になる」という意味であると理解しています。

例えば想定している利率がμだとして、μn=0.72から求められる時間nで100%元本が2倍になるわけではなく、50%の確率でそうなると言っていることになります（シグマ≠0の場合）。あるいは「50%の確率で2倍以上にも2倍以下にもなる」「aσの確率でn年後に2倍付近にバラつく」とも言えると思います。

これを数学的に確認しておきます。

μを相乗平均、σを標準偏差シグマとするとn年後の対数正規分布の「中央値」は

exp[μn]　・・・（A）

n年後の資産価値は

f(n)/f(0)=exp[(μn+a×σ√n)]　・・・（B）

よって、n年後に「中央値以上になる確率」はA=Bより、

平均σ：a=0　（σ≠0、n≠0）

平均確率：F(a)=1-[1+erf(a/√2)]/2=0.5　※erf(x)：誤差関数

つまり相乗平均において72の法則が計算通りの時間で2倍になる確率は、リターン、シグマ、時間のいずれにも依存せず50%固定であることが確認できました。これを図示すると以下のようになります。

【2倍以上になる確率の時間・シグマ依存（3D）】

【2倍以上になる確率の時間・シグマ依存（2D）】

【時間依存（シグマ=15%の断面）】

【シグマ依存（n=30の断面）】

代表的な値を抜き出して表としてまとめます。

【平均確率（一覧）】

【平均σ（一覧）】

【まとめ】

中央値を取りうる確率（相乗平均の場合の72の法則）が常に5割の確率であることがわかります（5割の確率で2倍以上にも2倍以下にもなる）。

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