最近「時間リスク」「長期リスク」について再考中であります。
(1+μ+aσ/√n)^n
=1+n(μ+aσ/√n)+・・・
=1+nμ+aσ√n+・・・
=(1+nμ)(1+aσ√n)+・・・
=[(1+μ)^n][(1+aσ/√n)^n]+・・・
最後の2行は余談で、3行目を見るとリターンの1次近似とリスクの1次近似とみなせます。
特にσ√n、、、この形どこかで見たと思ったら、時間方向に相関ゼロの単純な誤差伝搬法則です。
確かに月率から年率へ√12倍で換算するのと同様に、年率から「n年率」に√n倍で換算できます。これもn年後の期待値のバラツキを表すと考えられます。
ただそうすると標準誤差（σ/√n）をとってn乗するのとどちらがよいのか。上記の数式から2次以降が差として現れてくることがわかります。
【n年後のリスク】
上図はリターンをμ=0、標準偏差をσ=15%として、n年後の+1σのラインをプロットしたものです。それぞれ、
①：標準誤差のn乗
②：①の1次近似まで（標準偏差の√n倍）
③：①の2次近似まで
√n倍（②）はn乗（①）に対してかなり小さく見積もることになります。この違いは何かと考えてみると②は複利の効果が入っていないことです。①はσ/√nという年平均のリスクが1年ごとに掛かるとして複利で考えています。
その場合年率リスクは一般的に15%程度で微小量とするには大きく、近似誤差（複利の効果）が無視できないと考えられます（そもそもσ√nの根拠である誤差伝搬法則も近似を使っている）。それを2次（③）まで展開するだけでかなり近づきます。
ただここでちょっと考えてみると、リターンの相加平均相乗平均と同じ問題を抱えているのではないか。σ√nをnで相加平均をとらず相乗平均で考えればn乗しても結局σ√nで収めることができます。その場合の1年あたりのリスクは
(1+σ√n)^(1/n)-1
となります。この時のn年後の評価額のバラツキは、
(1+μ)^n×(1+aσ√n) （リターン項とリスク項を分離しました）
「σ/√nのn乗」なのか「σ√n」でいいのか。一応現状の理解を「σ/√nのn乗」としてまとめておきます。
(i)投資期間全体のリスク（変動の割合）・・・増える（σ√n）
(ii)1年あたりのリスク（平均の変動）・・・減る（σ/√n）
(iii)評価額のバラツキ（複利込みの変動）・・・増える（(1+μ+aσ/√n)^n）
(iv)元本割れのリスク（危険性）・・・減る（μ/σ～-a/√n）
（以下余談）
それじゃあ日率や月率の換算も「σ√n」ではなく「σ/√nのn乗」でやらないといけないの？というツッコミは勘弁してください（´～｀;）上記のようなn年後のリスク計算のスケールに比べれば誤差は小さく無視できます。単純に誤差を積み重ねる誤差換算か複利による成長まで考えるか、目的に応じて適宜使い分ける、ではダメでしょうか。
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