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インデックス・ドライバー

有効フロンティアについてVIII

「リスク低減率2」の最小配分を求めます。

「2」の考え方は「相関が任意の共分散における合成シグマ/そのときのウェイトで相関が1の共分散における合成シグマ」を合成リターンRで微分したときの停留点を求めるとします。つまりあるRにおける最小シグマを構成するウェイトのうち、相関1から最もシグマを減らしたものを求めます。したがってこの場合の分母のウェイトと分子のウェイトは等しくなります。また解は有効フロンティア上の点に限定されます。

まず有効フロンティアを記述するウェイトの相関1でのシグマを考えます。


このように相関1でのシグマが求められたところでリスク低減率1と同様に比を取って停留点を求めます。


上記R'の通りリスク低減率2最小となる合成リターンはこれ以上簡単にできませんでした。

この結果を元に横軸にリターン、縦軸にリスク低減率2をプロットします。パラメータは「有効フロンティアについてIII」と同じです。


茶色の線がリスク低減率2、茶色の点が上で求めたリスク低減率2が最小となる合成リターンR'です。確かに最小値を取っていることが確認できます。

さらにこれを別の見方で考えます。横軸に「最小シグマを構成するウェイトの相関1でのシグマ」、縦軸に「任意相関における最小シグマ」のグラフを描いたときに、縦軸/横軸(=傾き)がリスク低減率2に相当します。上の式が求めているものは、原点と有効フロンティア上の点を結ぶ無数の直線のうち、傾きが最小になるものです。


茶色の点がリスク低減率2最小で、茶色の線が原点とを結ぶ直線です。確かに傾きが最小になる直線を選択しているように見えます(余談ですが、この直線が有効フロンティア曲線の"接線"かどうかはわかっていません)。

前回のリスク低減率1と今回の2で結果は似たようなものになりました。どちらかというと「2」の方が当初考えていたリスク低減率の定義に近く、直感的にもわかりやすいと思います。

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