今回は同様に「ある一定の確率で2倍になるために必要な期間投資を行うこと」を長期投資と定義します。図で表すと、
【「2倍になる」の図】
このグラフの緑の太線が、ある一定の長さより長くなるまで運用する、ということです。
対数正規分布の考察から、2倍になるために必要な時間はリスク、リターン、要求確率（何σか）に依存することがわかっています（以下のμは相乗平均でμ＞0、a＜0とします）。
f(n)/f(0)=exp[μn+a×σ√n]=2より
2倍必要時間：n=[(-aσ+√(a^2σ^2+4μln2))/(2μ)]^2
例えばμ=5%、σ=15%、0σの確率（50.0%、a=0）で2倍になるために必要な時間は
n=14（年）
例えばμ=5%、σ=15%、-1σの確率（84.1%、a=-1）で2倍になるために必要な時間は
n=30（年）
例えばμ=5%、σ=15%、-2σの確率（97.7%、a=-2）で2倍になるために必要な時間は
n=61（年）
例えばμ=5%、σ=15%、-3σの確率（99.9%、a=-3）で2倍になるために必要な時間は
n=107（年）
これをグラフで表すと以下のようになります。
【2倍になるための時間の3Dマップ（-2σ、97.7%）】※トーンジャンプについてはご容赦ください。
3Dは定量性が若干犠牲になりますが、パラメータに対する依存性が直感的に理解しやすくなります。ここでは時間がシグマとリターンによってどのように変化するかを示しています。Z軸はLogです。以下のコントアは上記三次元の平面版です。
【2倍になるための時間のコントア（-2σ、97.7%）】
これらはイメージが掴みやすい一方で数値の読み取りが困難なので、SR（μ/σ）の関数としてプロットします。
【2倍になるための時間のSR依存（μ=5%）】
数学的にゲタを履かせたようになることが分かります。ここから代表的な値を抜き出して表としてまとめます。リスクとリターンを軸とします。
【2倍になるための時間（0σ、50.0%）】
【2倍になるための時間（-1σ、84.1%）】
【2倍になるための時間（-2σ、97.7%）】
【2倍になるための時間（-3σ、99.9%）】
【考察】
元本割れの場合と違い2倍になることをクリアする課題が加わるため、時間がオフセットを履くことになります。a=0の場合に相当する漸近線は定量的には「ln2/μ」となります。これは72の法則の解析的な形であり、上記a=0のテーブルが72の法則で求められる値とほぼ一致します。
この場合はSRのみでなくμにも依存します。同じSR（表の対角線上）でもμが大きいほど時間は短縮されます。
このようにk倍になる確率で長期投資を定義すると、確率的にさらに必要時間が厳しくなってきます。k=2における要求確率としては-1σ（84.1%）が落としどころでしょうか。
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