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インデックス・ドライバー

リターンを喰らうリスク

時価加重と「リスクによるリターンの消失」との矛盾」において時価総額比率(「CAPM」)を否定する根拠として考察した「リスクを取ってもリターンは上がらないどころか下がるの図」をもう少し推し進めてみたいと思います。

SR(リターン:μ/リスク:σ)を固定した時のシグマによるリターンの侵食を考えてみます。リターンの種類に応じて以下のように場合分けします。SRは1/3=0.33と1/10=0.10の二つのケースを考えます。

◆μが相乗平均(g)のときの相加平均(r)・・・赤の線
◆SR=const時のμ・・・緑の線
◆μが相加平均(r)のときの相乗平均(g)・・・青の線

【SR=1/3】

【SR=1/10】

【特筆すべき点】
μが相乗平均(g)の場合、そのとき必要な相加平均(r)がシグマに応じてトンデモなく高い値になることがわかります。これを仮定する「CAPM」が現実的とは思えません。一方μが相加平均(r)の場合はシグマに応じて相乗平均(g)が減少します。これは過去の様々な検証結果とコンシステントです(例えば「リスクによるロスの確認」)。

【相乗平均が極値を取るシグマ】
μが相加平均(r)のときの相乗平均(g)が「極値」を取る場合(それよりσが大きいと相乗平均が減少し始める場合)のσを求めます。

g=r-σ^2/2
r=SR×σより
g=SR×σ-σ^2/2
gをσで微分して
g'=SR-σ
g'=0より
σ=SR

したがってSRそのままの値であるσ=33%、σ=10%が青い曲線のピークになることがわかります。

【相乗平均がゼロを取るシグマ】
μが相加平均(r)のときの相乗平均(g)が「ゼロ」を取る場合のσを求めます。

g=r-σ^2/2
r=SR×σより
g=SR×σ-σ^2/2
g=0より
σ=0、2SR

したがってSRの2倍の値であるσ=66%、σ=20%がX軸との交点になることがわかります。

【まとめ】
リスクにリターンが喰われるのでシグマはなるべく小さくしたいです。相加平均がシグマに比例すると仮定した場合、相乗平均の関数型はシグマの二次関数(放物線)となり、負のリターンを回避するために比例係数「SR」に応じて取りうるシグマの範囲に制限が生じると考えることができます。

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