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インデックス・ドライバー

シグマ型72の法則の確率MAP

普段の確率グラフはコントア(等高線)やグラデーションによって確率分布を記述したものでした。波動砲グラフなどが代表的です。今回は点の密度によって起こりうる確率の高さを表現するものです。「シグマを考慮した72の法則」を例に検討してみます。

【72の法則プロッター(N=2^14=16384)】

資産運用ではリスク(標準偏差)が存在すると「確率的には『72の法則』の通りに資産が2倍にならない」ということがわかっています。


それを記述するために、従来の『72の法則』にシグマを変数に加えて定式化したのが「リスクを組み込んだ72の法則」です。

今回はその「3次元(flat版)マップ」を描いてみたいと思います。方針としてモンテカルロシミュレーションに基づいて「リスクをもったときの実現確率(累積確率)が高いほどプロットの点が多くなるようにする」ことで、確率分布(信頼区間)を見える化することが目的です。

シグマを15%固定、時間(n)と(相乗平均)リターン(μ)を一様乱数で振ってその時の信頼区間(a)を算出。確率を対称にするためにaを絶対値として累積確率関数に放り込み、一様乱数との大小比較により条件を満たせばその時の(n,μ,a)をグラフに「ドット打ち」します。描画上のレンジは±3σ(-3≦a≦3)に制限しています。

試行は2^20(=1048576)回行い、条件を満たした約20000回のうち、サンプル数を4、64、1024、16384でマトリクスを組んだものが以下になります。またサンプル数16384を単品でプロットしたものが冒頭の画になります。

【72の法則プロッター(N=4、64、1024、16384)】

【考察】
まず「リスクを組み込んだ72の法則」のグラフライクな分布の広がりであることが確認できます。

そして0σ周辺の点の密度が濃く、±1σ、±2σ、±3σと確率が小さくなるにしたがって点の密度も薄くなっています。「起こりうる確率分布がまさにこの点の密度である」ということを示していると思います。グラフは両対数ですが時間が経つほど同じ確率(同じa)でバラツキが大きくなっていることも確認できます。確率を視覚的に掴む上で有効だと思います。

【余談ヨルダン】
今回は量子力学における電子の「二重スリット実験(wikipedia)」をイメージしたテストケースです。

【Electron版ヤングの実験】
出典 hitachi.co.jp/rd/portal/highlight/quantum/doubleslit/

粒子の波動性を実証した有名な実験です。波動関数(確率振幅)の重ね合わせが存在確率(干渉縞)として現れていると考えられます。

上の「シグマ型72の法則」のプロットはこれをマネています。n増しするほど精度が向上するというモンテカルロシミュレーションの実験的な応用であり、粒子と波動の二重性という量子力学の真髄と確率解釈の意味を端的に表していると理解しています。

やはりインデックス投資は量子力学に通じるものがあると思います(確率分布の絡むものはどれも量子力学ライクかも知れませんが)。

(関連記事)

コメント

1. 無題


時価加重平均は投資家のリターンの平均を示すか?(上)
http://sitake.seesaa.net/article/440102769.html

時価加重平均は投資家のリターンの平均を示すか?(下)
http://sitake.seesaa.net/article/440104689.html

によって、時価加重平均が投資家のリターンの平均を示すことをシミュレーションと回帰分析で示しています。
シミュレーション方法などに認識のズレがありましたら、
私のブログにでもご返信いただければと思います。

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