三井住友TAMで興味深いコラムが掲載されていました。

要旨は①分散によって通貨でもシグマが減る、②通貨間の相関係数にも特徴がある、といったところでしょうか。

個人的におもしろいと思ったのは通貨間の相関係数です。基本的に為替換算はシグマを増やすので、為替リスクのない国内資産だけに投資する方が安全な印象があります。しかしこの相関係数の表を見ると、通貨も資産も多数の国に分散できるグローバル投資では為替換算で増えるリスクを分散（相関係数とn）によってそれ以上に減らせるのではないかと思いました（ただし現実には日本円と現地資産との相関が高いので難しいはず→「相関為替ヘッジ」「積の合成リスクの相関係数依存」参照）。

また円換算のリスクは時系列だけでなく計算で求めることもできます。つまり現地通貨建て資産と通貨との"積の合成リスク"です（「国内資産と外国資産のシグマ（積の合成リスク）」参照）。普段の合成リスク算出に用いる各資産のリスクは円換算されているのでそのまま相関マトリックス演算をすればよいのですが、この積の合成リスクを使えば現地通貨建て資産と通貨とのリスク成分を分離した合成リスク演算が可能になります。リンク先で通貨間の相関係数が求められているのでこの機会に考えてみます。

例として2資産2通貨で考えます。

・資産X1（σx1）とそれに対応する通貨Y1（σy1）・・・例えば米国株と米ドル

・資産X2（σx2）とそれに対応する通貨Y2（σy2）・・・例えばブラジル株とレアル

をそれぞれW1とW2という配分で合成する場合を考えます。

f=W1X1Y1+W2X2Y2

これを「誤差伝搬法則」にあてはめて愚直に偏微分を計算すると、

σf^2

= W1^2 Y1^2 σx1^2 + W1^2 X1^2 σy1^2 + W2^2 Y2^2 σx2^2 + W2^2 X2^2 σy2^2

+ 2 W1 Y1 W1 X1 σx1 σy1 rx1y1

+ 2 W1 Y1 W2 Y2 σx1 σx2 rx1x2

+ 2 W1 Y1 W2 X2 σx1 σy2 rx1y2

+ 2 W1 X1 W2 Y2 σy1 σx2 ry1x2

+ 2 W1 X1 W2 X2 σy1 σy2 ry1y2

+ 2 W2 Y2 W2 X2 σx2 σy2 rx2y2

さらに以下のように整理します。

σf^2

= W1^2 (Y1^2 σx1^2 + X1^2 σy1^2 + 2 Y1 X1 σx1 σy1 rx1y1)

+ W2^2 (Y2^2 σx2^2 + X2^2 σy2^2 + 2 Y2 X2 σx2 σy2 rx2y2)