思想・考察

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「ウォール街のランダム・ウォーカー」でリスクを再確認

①システマティックリスクについて

ウォール街のランダム・ウォーカー（原著第9版）P.270に「図1　分散投資によるリスクの低減」があります。なんと、リスク低減が数十銘柄でサチることが書いてあるじゃありませんか。これではまともに読んでいないことがバレバレですわ（´～｀;）

【リスクのゲイン成分とオフセット成分】

システマティックノイズ（σs）は「constant」なので傾きゼロ、ランダムノイズ（σr）は1/√nで低減し両対数で傾き-1/2の直線になります。その自乗和のルートが合成リスク（σfまたはσg）になります。こんな感じの「ゲインに依存する成分」と「オフセット成分（ゲタ）」との重ね合わせは資産運用に限らず割とよく出てきます。

この件に関するウォール街のランダムウォーカーの要点としては次の通りです。

◆ランダムリスクは簡単に減らせる

◆問題はシステマティックリスク

◆期待リターンは分散で減らせないシステマティックリスクに支払われるべき

②リスクをとってリターンを高めることについて

この本の第9章のタイトルにもなっている、

「リスクをとってリターンを高める」

これについて私の解釈では「確率の端で+2σ、+3σに"賭ける"こと」ですが、マルキール氏的には「市場平均（インデックス）にレバレッジを"掛ける"こと」であると読み取りました。

ウォール街のランダムウォーカーが言っているのは「市場平均にゲインを"掛ける"こと」なので、リスクとリターンの比である「SR（リターン／リスク）」は常に一定と考えられます（実際は無リスク資産があるので比例ではなく線形だと思います）。そりゃS/Nを無視してゲインを上げればリターンは高くなると思います。逆にマイナス側に振れる幅（ノイズ）もゲイン倍されると思います。

ここで疑問に思うのは、

「リスクとリターンに相関関係はあるのか」

ここで言う「相関関係」とは、同じ資産内の「銘柄」ではなく異なる「資産」まで範囲を広げると「システマティックリスクと期待リターンに一次関数的な関係はあるのか」ということです。つまりリスクの高い「資産」はリターンも高くなるという論理的根拠があるのかを知りたい。

同じ資産内の銘柄間に限ればそのような傾向が無いことは過去のデータとともに本書で述べられています（リスクをとってもリターンは高まらない）。これにはリスクでリターンが喰われる影響（シグマにより相加平均が相乗平均になること）も含まれているのではないかと漠然と思っています。

（関連記事）

リスク低減がサチるということ

リスクを取ってリターンを高めるということ

シグマで失われるリターン

「敗者のゲーム」でリスクを再確認

システマティックリスクの分離と埋め込み

分散の仕方によるリスク低減の応答性（N増し版）
eMAXIS8資産均等型のリバランスボーナスの確認（2015/02/27）

「1番じゃないとダメなんですか？（リスクとリターンの等価性について）」で考察した「リバランスボーナス」をeMAXIS8資産均等型と個別8資産の基準価額で確認します。特に、今後の課題とした「リバランスボーナスがリバランスコストで相殺されていないか」を確認します。

【固定端バージョン（年率換算）】

【平滑化バージョン（年率換算）】

「固定端」が原点を基準とした低周波成分を表し、「平滑化」が20日周期のローパスフィルタで高周波成分を抽出したものです。ブルーのラインが基準価額から求めたリバランスボーナスの「実測値」です。マゼンタのラインがリバランスボーナスの「理論値」をバラのリターンから解析的に求めたもの、グリーンのラインがシグマから理論的に求めたもので、両者はほぼ完全に重なっています。参考として均等型とバラの平均における損益とリスク（20日周期）の差分も示しています。

【考察】

①実測値が正（低周波成分で年率～0.5%）

→リバランスボーナスが現実に存在することを確認

②理論値に対して実測値がわずかに小さい（低周波成分）

→これが日々のリバランスコストではないかと推定。ゼロではないが相殺まではされていない。

③リスクの変動とリバランスボーナスがリンクしている（高周波成分）

→リバランスボーナスがシグマの関数であることとコンシステント

④短期的には実測値と理論値の位相ずれが起こり実測が理論を超えることがある（高周波成分）

→市場変動に対するバランス型ファンドの応答性（時定数～10日）が見えているのではないか。

②はeMAXIS8の運用管理費用がバラ売りの平均より低い成分（税抜0.025%）も微妙に含まれているはずなので、例えば低周波の2015/02/27における実測値と理論値との差が-0.032%より、0.025+0.032=0.057%程度がリバランスコストではないかと推測します。

この「リバランスボーナス」という統計量はリバランスが機能していれば必ずプラスになると考えられます（コストを除く）。この機能を「リバランス追従性」とでも呼びましょうか。このプロットはバランス型の運用がうまくいっているかの指標になりうると思います。なお運用初期でマイナスなのは数値化の母数が足りていないことが主要因だと思います。

ここで今一度「リバランスボーナス」の定義を確認します。

【理論式】

「gp」が均等型の相乗平均、「Σwigi」がバラの相乗平均の加重平均、「(1/2)*(Σwiσi^2-σp^2)」がリバランスボーナス項。均等型のシグマ「σp」は相関により低減しているのでバラの加重平均との差異が生じることが示されます。個人的には均等型の"低減された"消失リターン「-(1/2)σp^2」が相加平均「rp」を喰らうと捉える方が理解しやすいです。

【ポンチ絵】

「ノイズキャンセル効果（ポートフォリオ）」と書かれた部分を求めています。シグマで痛んだ相乗平均リターンを合成リスクの低減により回復させるというイメージです。

【まとめ】

リバランスボーナス獲得のために頻繁なリバランスを手動で行うのは課税ロス、手間という意味で現実的ではない。バランス型はリバランスボーナスを実現する「手段」として合理的である。またeMAXIS8やスタムidx、世界経済idxのように運用管理費用がバラ売りファンドの加重平均より低いことと合わせてバランス型を採用するための論理的根拠となりうる（もちろん同一シリーズに限定しなければより低コストのファンドの組み合わせも存在しますし、上記のようにリバランスコストもゼロではありません）。

ただし繰り返しになりますが注意したいことがあります。

【注意点】

①バランスファンドのように決められた配分にリバランスしないと定式化された通りのリバランスボーナスは得られない、ということ。

②「分散はしてもリバランスしないほったらかしポートフォリオ（リバランスレスポートフォリオ）」に対する優位性は市場環境に依存する、ということ。（リバランスボーナスはウェイトが固定された場合に個別資産の相乗平均の加重平均より大きくなることを言っているだけで、ウェイトが連続的に変化するリバランスレスポートフォリオとの関係は触れられていない。）

特に②を定量化したのが上記プロットの「損益均等型-バラ合計」です。このように「常時リバランスの均等型」と「ほったらかしのバラ売りの平均」とのトータルの差分は、リバランスボーナスによらず、市場環境によってプラスにもマイナスにも変動します。

少なくともこの期間に限ればリバランスボーナスが年率約0.5%、「損益均等型-バラ合計」が年率約-1%で、リバランス頻度による弊害の方が相対的に大きくなっているようです。

リバランスポートフォリオとリバランスレスポートフォリオ、これらは対になるものだと考えます。いつもの話ですが、もし判断に迷うことがあればこのふたつも等配分して持てばいいと思います。気をつけたいことはリバランスボーナスを得ることが「目的」になってはいけないという点です（リバランスの主目的はリターン向上ではなくリスク維持）。なお先日も書きましたが、これは考察の記録であり特定の投資判断を推奨するものではないです。

（関連記事）

1番じゃないとダメなんですか？（リスクとリターンの等価性について）

分散投資によるノイズキャンセル効果
アクセス解析を見て思うことSecond

前回の「アクセス解析を見て思うこと」の記事に張ったリンクのアクセス数（比率）をグラフ化します。

「最強ポートフォリオ」などキャッチーなフレーズの方が割合は高くなるようです。私もたまに「インデックスの倒し方」みたくもじることはありますけど、内容の趣旨に合うなら単純にその方が「おもしろいから」です。中身については「ただの煽り」にならないように努力はしています。

ただその中身がうまく伝えられているか不安です。例えば「水を差して」はインデックスファンドのコスト、シグマの再現性の高さとトラッキングエラーの顕現がテーマですが、特定ファンドの良し悪しだけが一人歩きしているのではないかと懸念しています。

あと割と「分配金余力」は少ないようです。アクセス解析で絶対数が多いのは母数の関係で検索エンジンからの流入がある程度いくのだと推測されます。

その他全体のアクセス傾向として前回記事の前後二週間で大きな変化はありません。他人の資産状況や成績ってそんなに面白いですかね。

概して「等価性」「どう解決すべきか」「シミュレータ」といった堅苦しそうなものは停滞。確率やバラツキに代表される抽象的な概念やその応答解析、また課題・原因・対策に関する一般的な考察より、「取り返しがつく」等の定性的なものや「課税ロス」「騰落率差」のように具体的な損得の数字が見える方が受け入れられるようです（単に計算や集計することは「定量的」とは違います）。

結局、「背景とか考え方とかどうでもいいからアセアロとファンドをどうすれば一番儲かるか（損しないか）教えて」ということでしょうか。

個人的には投資や生活に役に立つ、役に立たないは関係なくそういう背景や考え方をもっと大切にしたいと思っています。なぜなら少なくとも数学や統計といった「ロジック」が無ければ、例えばこのブログを書いたりインデックスファンドを購入したりするためのPCやスマートフォンも、ましてやインターネットも存在し得ません。またそのロジックがあるからこそ、市場ノイズにも不確定性にも霞まない明日を照らすことができるからです。

だから私はこう考えます。

「宇宙の全てを支える統計が、インデックス投資という身近な資産形成手段として存在する好機を無にしてはならない」。

統計による支えが、論理的背景が、インデックス投資の存在の証だと思うからです。

インデックス投資と統計が共存していく未来を私は信じています。

（関連記事）

このブログのこれまでのまとめと今後について（2014/12/31）

分散の仕方によるリスク低減の応答性（N増し版）

以前考察した「分散の仕方によるリスク低減の応答性（ガンマモデル）」の応答解析は絶対的な数が足りていないので、n=100で実施できるように合成リスクの相関演算行列を100×100に拡張しました。時価加重ライクな「γ=-1」で再計算します。

【ガンマウェイトモデル（100資産拡張版、γ=-1）】

【イコールウェイトモデル（100資産拡張版）】

これを「均等度」や「分散度」とともにウェイトヒストで表します。

【ガンマウェイトモデル（100資産拡張版、γ=-1）のウェイトヒスト】

ガンマモデル	10資産	20資産	30資産	40資産	50資産	60資産	70資産	80資産	90資産	100資産
均等度	0.27	0.13	0.14	0.15	0.12	0.14	0.15	0.14	0.15	0.16
分散度	1.32	0.79	1.48	2.32	2.08	3.04	4.17	3.97	5.23	6.64

【イコールウェイトモデル（100資産拡張版）のウェイトヒスト】

等分モデル	10資産	20資産	30資産	40資産	50資産	60資産	70資産	80資産	90資産	100資産
均等度	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00
分散度	10.00	20.00	30.00	40.00	50.00	60.00	70.00	80.00	90.00	100.00

この配分における合成リスクを求めます。個々の資産のσは一律20%とし、相関係数は互いに等しいとします。相関係数の値を少し振ってnと相関係数に対する応答を確認します。

【合成シグマのn-r依存（100資産拡張版、γ=-1）】

例えば、r=0において同じ合成シグマにするために必要なnを見ると、γ=-1の100資産がイコールウェイトの17資産程度に相当します。しかしrが0.3程度になるとその差はrで律速する漸近線の値に対して相対的に小さくなります。

次に、n=100で固定してガンマと相関係数を振って応答を確認します。

【ウェイトのガンマ依存（n=100）】

【合成シグマのγ-r依存（n=100）】

まずウェイトのガンマ依存を見るとγ=-0.25あたりが現実の時価加重に近いように見えます。その時の合成シグマの差はr=0で1%程度であり、rが0.3程度になるとイコールウェイトとほとんど変わらなくなってきます。

【まとめ】

例えばショットノイズといった物理現象やフォトンカウンティングのような計測では独立事象を扱うので相関をゼロとすることが多い。一方分散投資は有限の相関を考慮します。インデックスの構成銘柄間の相関係数をどう見積もるかにもよりますが、私が思っている以上にランダムノイズ成分は小さく、アセットのリスクというものは「ほぼシステマティックノイズである」という結果です。

＝＝＝＝＝＝＝

個人的に、世に言うボロ負けを喰らってしまった感覚ですorz

（関連記事）

分散の仕方によるリスク低減の応答性（ガンマモデル）

リスク低減がサチるということ

相関係数とσ（2014年版）

裏アセットアロケーション（2015年2月）

原油価格の下落、インデックスファンドのトラッキングエラー顕在化、等金額インデックス、など時機がよいので相変わらずくだらないですがウラ仕様を更新します。

【ウラポートフォリオ】

◆ノムラ新興債H→スタム新興債H（置換）

自然な流れかと思います。

◆ニッセイ225＋NYダウレアル→JPX400ドル（ダイワJPX米ドル投資型）（統合＋置換）

NYダウレアルはネタすぎたので「通貨選択型インデックス」枠を置き換えます。日本株のニッセイ225に代わり1.5%クリップで分散が改善しているJPX400との「合わせ技」です。「外国資産＋高金利通貨」と「国内資産＋米ドル」では狙いが異なりますが。低くないとは言えまだマシなコストだと思います。

◆Sコモデテオ（SMTAMコモディティ）（追加）

NYダウレアルのような強烈なネタキャラがいなくなったので同じネタキャラのコモディティを入れます。割と良心的なコストのコモディティファンドだと思います。

◆ジャパソブN→増配レジェンド（三菱UFJ米国配当成長株）（置換）

等配分インデックスファンドを入れないわけにはいきません。「温暖化climate」よりかは「配当noble」にしたいなと。たぶん信託報酬（1.782%）はpayできないと思いますが。債券の等配分であるラダー型のジャパソブNと入れ替えます。

◆EXE-i新興株（追加）

FTSE Emerging Index連動のVWO（0.15%）に間接的であれ投資できるのを我慢する必要はないかと思っていたら、同じくFTSE Emerging Index連動のSCHE（0.14%）に変更なったようです（0.4084→0.3924%）。バンガードより低経費率なんですね。すごいですね。同様にEXE-i中小型もETFの組み合わせ変更により低コスト化されています（0.5164→0.3764%）。

ただこの程度の判断に助言が必要な運用会社もどうかと思いますが。投資信託って助言会社を売りにすることがありますが個人的には良いイメージはありません。

◆ニッセイグロ株（追加）

積立はスタムですけれどもニッセイはウラアセットのラスボスにいいと思います。ちょっとズッコケてましたが、ポートフォリオや現金比率起因のトラッキングエラーなら下だけでなく上にブレる可能性もあります。他と振る舞いが違うのもこれはこれでおもしろい。

（据え置き）

◆ピクテブラジル

◆EXE-i中小型

◆USジャンク

◆DLIBJ短期債

＝＝＝＝＝＝＝

持っているか持っていないかはご想像にお任せ致します・・・としたいところですが宣言してしまったので報告致します。

「レジェンド」を購入しました。1/Mくらいに宣言したあと忘れていて、2/2に発注して2/3に約定しました（投資行動に対する私のやる気なんてそんなもんです）。さてどうしましょう。少なくとも購入手数料（3.24%）を取り戻すことは大変だということを感じます。

（関連記事）

裏アセットアロケーション（2013年11月）
積み立てロジックシミュレータ（β版）

「積立のウラ問題メモ」における考察のように「積立」は万能ではありません。これらの裏問題に対する何らかの対策があってもいいのではないかと思います。

かなり前に「積み立てロジックのアレンジ」という記事で積立を繰り越したらどうなるか、というのを検討しました。この時は有意差が見出せませんでした。しかも何をどうやったか忘れてしまいました（´～｀;）

そこで先日のデジタルクーポンシミュレータのスクリプトを流用してリトライしてみたいと思います。

【方針】

①前月に対して指数が上昇したら何もしない（繰り越さない）、下落したら積み立て

②前月に対して指数が上昇したら次回以降に繰り越し、下落したら繰り越し分を合算して積み立て（以前やったのと同じ）

（確率分布乱数）

関数型：ガウシアン＋ローレンツ関数（定義域：r±5σ）

相加平均（月率）：0.407%（年率5%）

シグマ（月率）：4.33%（年率15%）

期間：240ヶ月（20年）

試行回数：4096回

【結果】

普通に積み立てる場合を「Traditional」、①のアレンジ版を「Arrange1」、②のアレンジ版を「Arrange2」とします。まずTraditionalに対する「資産総額／元本（＝収益率）」の相関プロットをArrange1、Arrange2で示します。Z軸はアレンジ版の積立回数（＝元本）です。色のついた線は直線近似、白い線は1:1対応を表します。

◆収益率の相関プロット（Arrange1）

◆収益率の相関プロット（Arrange2）

Arrange1は近似線の傾きが1より大きく、収益の効率という意味ではTraditionalに対して有意な効果がありそうです。一方Arrange2はTraditionalとほぼ変わりません。そこでTraditionalに対する収益率の比の分布を求めます。

◆通常積立に対する収益率の比

今回の例ではArrange1は収益率の比で平均的に約2%の効果が確認できます（Arrange2は若干マイナス）。

しかしArrange1のZ軸の積立回数からわかるように、指数が上昇したら何もしないArrange1はリターンの値はよくなりますが元本が増えないことが懸念されます（240ヶ月に対して100前後）。また色の分布からは指数の上昇が大きくなるほど積立回数が減少する傾向も確認できます。そこで資産総額の分布を示します。

◆資産総額のヒストグラム

資産総額を1dB（デシベル）ごとに分割して求めています。規格化しているので例えば毎月の積立額を1万円とするなら横軸を1万倍してください。「Base」と書いた線は元本の平均値です。

Arrange1は資産総額の少ない方にシフトし平均的にはTraditionalの半分程度のようです。Arrange2はTraditionalとほぼ変わりません。

【まとめ】

設定する確率分布次第なような気はしますが、Arrange1はそこまで劇的に収益率が向上するわけではなさそうです。これだけ見るとインデックス投資のように右上がりを仮定する場合は元本（収益の割合ではなく絶対値）を増やす方がよいのではないかと思います。普通の機械的な定期積立がシンプルという結果です。

Arrange2は以前の結果とコンシステントであることが確認できました。Arrange2が効果がないというのは前回と同様「自己相関がゼロに近い変動をする確率分布では繰り越して下がるのを待ってもそれまでに上がってしまってトータルゼロ」ということなのではないかと考えています。

simの改善としては、今回積立裏問題の「暴落」はローレンツ関数を使用することで反映させたつもりですが、月率の範囲内なのでもっと極端な場合を想定するべきかも知れません。また「寄与率」の対策として、積立するかしないかの判定も前月からの上昇下落による1/0ではなくある程度のしきい値を持たせてもよいかも知れません。

（関連記事）

デジタルクーポンシミュレータ（β版）

米国ETFの配当課税ロスに関する疑問

バンガードETFが50銘柄追加されるようです。

バンガードETF（バンガード・ジャパン）

バンガードETF一覧（PDF）（バンガード・ジャパン）

「VT(0.18%)」の他に、

「VXUS(0.14%) or VEU(0.15%)＋VTI(0.05%)（＋VYM(0.10%)）」もいい感じに思いました。

ただこれだけあっても非時価加重ウェイト（ex.Equal Weighted Index）が無いのは・・・orz

バリューETFは「Value Weighted Index」ではなく「Value Index（market cap）」だと思います。バンガードの思想として低コストのために時価以外ありえないならしようがありません。

米国ETFは分配や再投資、確定申告が面倒で課税ロスも考えるとやる気が出なかったのですが、非課税口座もあるし、上のVXUSやVEUもおもしろそうなので、改めて米国ETFの課税関連とその複利ロスについて考えてみます。

※怪しい部分もありますので間違い等あればご指摘をお願い致します。

【分配と課税の違いマトリクス】

	国内IndexF	国内IndexF(DC)	国内ETF	米国ETF
分配の有無	無分配（とする）	←	配当収益を全額分配	←
現地配当課税	（無分配でも） 10%源泉徴収	←	←	配当分配時に 10%源泉徴収（これを国内所得税から控除 →外国税額控除※1）
国内分配課税	（分配すると） 20%源泉徴収	非課税	配当分配時に 20%源泉徴収	←
配当に対する売却時譲渡課税	あり（20%）	なし（DC）	なし（分配済み）	←

例えばグローバル株式で配当を3%（キャピタルゲインはゼロとする）として課税や経費率でどれくらい侵食されるか（＝複利ロスの差とみなす）を指標に成分分離しながら考えてみます。

【一般の課税口座の場合】

	国内IndexF	国内IndexF(DC)	国内ETF	米国ETF
経費率（実質コスト）	0.60%	0.30%	0.30%	0.18%
配当	3%	3%	3%	3%
現地配当課税	10%	10%	10%	0（※1）
国内分配課税	0	0	20%	20%
課税後配当	2.70%	2.70%	2.16%	2.40%
課税後配当−経費率	2.10%	2.40%	1.86%	2.22%
配当に対する売却時譲渡課税	20%	0（DC）	0（分配済み）	0（分配済み）
譲渡税控除後（20年後）	41.23%	60.69%	44.57%	55.14%
譲渡税控除後（20年後）年率	1.74%	2.40%	1.86%	2.22%

（前提）

・国内インデックスFは現地配当課税10%、無分配を仮定して国内分配課税はゼロ。

・米国ETFは外国税額控除により現地配当課税をゼロとする（※1）。国内分配課税は20%。取引手数料と為替手数料は考えない。

配当の侵食（課税後配当−経費率）だけではそれほどの差には見えませんが、売却して譲渡税まで課された複利率を求めると大きな差になってきます。外国税額控除が適用される分配あり経費率0.18%の米国ETFと勝負する無分配インデックスファンドは実質コスト0.6%では太刀打ちできず0.1%程度でやっと戦える水準に相当します（「バンガード・エマージング・ボンドETF（米ドル建て新興国債券）」における考察とコンシステント）。

分配課税による20%複利ロスより、配当課税による10%複利ロスと譲渡課税20%の組み合わせの方がロスが大きいということですね。米国ETFは分配で利益確定しながら外国税額控除で大元を取り戻すということでうまくできていると思います（合ってますよね？）。DCが使える人はDCでいいような気がしますが拠出金額に上限があるので米国ETFもいい感じです。

【非課税口座の場合】

	国内IndexF	国内IndexF(DC)	国内ETF	米国ETF
経費率（実質コスト）	0.60%	0.30%	0.30%	0.18%
配当	3%	3%	3%	3%
現地配当課税	10%	10%	10%	10%
国内分配課税	0	0	0	0
課税後配当	2.70%	2.70%	2.70%	2.70%
課税後配当−経費率	2.10%	2.40%	2.40%	2.52%
配当に対する売却時譲渡課税	0（非課税口座）	0（DC）	0（非課税口座）	0（非課税口座）
譲渡税控除後（5年後）	10.95%	12.59%	12.59%	13.25%
譲渡税控除後（5年後）年率	2.10%	2.40%	2.40%	2.52%

（前提）

・非課税口座は分配に対して非課税（非課税枠で再投資できるとする）。

・しかし課税されない＝外国税額控除が適用されない（と考えられる）ので米国ETFは現地配当課税10%が復活（するとする）。

この場合は分配によらず経費率の差だけになるようでわかりやすいです。

【まとめ】

このように「コスト」と「配当分配による再投資課税複利ロス」に関してバンガードの米国ETFは魅力的です。「確定申告」「再投資」などの多少の手間を惜しむ必要は無いかも知れません。しかも非課税口座は外国税額控除が適用されないなら確定申告の必要もなさそうです。今回の50本のおかげで現地配当課税と外国税額控除の関係についての曖昧な理解が少し整理できたような気がします。

あとETFでストレスなのが「基準価額と取引価格との乖離」ですが、それも少なくともVTは過去に確認した限りそれほどでもないので問題ないかも知れません。

【参考：VTの市場価格の乖離】